ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Géodésie & triangulation       » théodolite

Comme son nom l'indique, la géodésie est la science de la mesure de la Terre par morceaux : du grec gê = terre et daiein = diviser. Elle permet d'établir la topographie (du grec topo  = lieu et graphia = description) d'un lieu (plans, cartes).

On attribue souvent à l'astronome hollandais Snellius la paternité (1615) ce cette spécialité, mais Al-Biruni la mit en pratique vers l'an 1000 en utilisant déjà des procédés trigonométriques subtils. Bien auparavant, le grand initiateur fut l'astronome et mathématicien grec Eratosthène qui procéda par mesure directe : à pied, grâce aux armées !

Au 17è siècle, un astronome et géodésien français, l'abbé Jean Picard, met au point des appareils optiques de mesure des angles et se rend en Norvège, à Uranienborg, là où Tycho Brahé fonda son observatoire, afin de mesurer avec précision sa position et, par là, de pouvoir utiliser les observations des 777 étoiles qui servirent aussi à Képler à découvrir les lois régissant le mouvement des planètes. Ce spécialiste de géodésie rédigea en particulier deux importants traités : La mesure de la Terre (1671, » BnF) et Traité du nivellement (1684) édité après sa mort par Philippe de la Hire avec, en complément, un abrégé de La mesure de la Terre (» BnF).

 i  Jean Picard (1620-1682) : prêtre, prieur de Rillé (en Anjou, à l'ouest de Tours), il fut un astronome et géodésien moderne pour son époque, fabricant et utilisant divers instruments de mesure dont les horloges de Huygens. Jean Picard enseigna au Collège Royal, futur Collège de France et fut un des fondateurs de l'Académie royale des sciences en 1666. Dans ces mêmes années, Newton recherchait le lien entre pesanteur et gravitation. Mais il abandonna ses recherches face à des résultats contradictoires. En fait, il utilisait une mesure erronée du rayon terrestre. En 1682, découvrant le calcul de Picard, il reprend ses calculs et les résultats confortent ses conjectures : cinq ans plus tard (1687) la théorie de la gravitation universelle voyait le jour.

Une excellente approximation de la distance Terre-Lune fut établie en 1751 par les astronomes français Joseph Jérôme Le François de Lalande (1732-1807) et l'abbé Nicolas Louis de La Caille (1713-1762) par une méthode de triangulation en observant la Lune au même instant à Berlin et Cap (Le Cap, Afrique du Sud).

Grâce aux progrès des calculs trigonométriques (plans et sphériques) dus en particulier à Delambre, Monge et Legendre, la géodésie devient une branche importante des mathématiques : en 1784, Cassini de Thury, petit-fils de l'astronome Jean Dominique Cassini, établit, par triangulation, une carte précise de la France (180 feuilles).

Lors de la révolution, époque où l'on voulut définir le système métrique : les astronomes Delambre et Méchain furent chargés par l'Assemblée Constituante (1791) de calculer la longueur de l'arc de méridien Dunkerque-Barcelone afin de définir le mètre comme étant le dix millionième du quart du méridien terrestre.

Mais c'est quoi une triangulation  ?    

1. Dans le cas purement géométrique, une triangulation d'une surface convexe polygonale consiste à tracer un certain nombre de diagonales partageant ce polygone en un certain nombre de triangles, deux quelconques de ces diagonales ne pouvant s'intersecter :

2. Dans le cas géodésique, si la Terre était "plate", il serait aisé de mesurer les distances. Mais notre planète, tout comme les autres, étant approximativement sphérique,  un chemin "rectiligne" allant d'un lieu A à un lieu B de la Terre, est en fait approximativement un arc de cercle.

L'idée de la triangulation est de remplacer cet arc par un segment de droite et, fondamentalement, de substituer aux mesures de distances, la seule mesure des angles : on décompose le chemin AB en autant de triangles que possible de part et d'autre de la ligne à mesurer (généralement un arc de méridien ou de parallèle). On calcule alors les segments [AA'], [A'D'], ... » méridien , parallèle.

Pour ce faire :

• on mesure les positions de A et B (longitude et latitude);

• les sommets des triangles utilisés sont des points visibles (élevés);

• l'un des côtés (au moins) du premier triangle doit être connu; supposons ici que c'est [AD];

• au moyen d'instruments optiques, comme le théodolite, permettant la mesure des angles comme ^ACD et ^ADC;

• on continue avec la mesure des angles ^DCE et ^DEC;

• et ainsi de suite...

 ➔  L'appellation théodolite nous a été légué par son inventeur anglais, Leonard Digges (1520?-1560?), astronome et géomètre à qui l'on doit en particulier un traité (1556) sur les mesures géodésiques : Tectonicum dont le sous-titre précise : enseignant en peu de temps le mesurage exact et le calcul expéditif de toutes sortes de terrains, places publiques, arbres, pierres, cloches, etc.

L'origine du terme est incertaine. Il semble être forgé sur le grec thêorein = examiner (qui a également donné théorème), odos = moyen, méthode et itus = cercle (l'appareil comportant en particulier un cercle de visée horizontal (azimutal) et un cercle de visée vertical. Le théodolite fut perfectionné aux 17 et 18è siècles grâce aux techniques optiques "modernes" allant de pair avec la construction des lunettes astronomiques et des télescopes. Digges aurait d'ailleurs également imaginé ce dernier type d'instrument.

Revenons à notre triangulation en nous intéressant au triangle ADC : en posant DC = a, AC = d, AD = c, la formule d'Al Kashi s'écrit a² = d² + c² - 2dc.cos^A et permet de résoudre le triangle ADC. Pour cette résolution, on peut préférer la formule des sinus :

a/sin^A = d/sin^D = c/sin^C = 2R            ∗∗∗ Résolution de triangles

Ensuite, la connaissance de la direction [AB) permet par visée d'obtenir l'angle ^DAA'. connaissant l'angle ^ADC, on en déduit ^AA'D. On peut alors résoudre le triangle AA'D et connaître ainsi AA'. De proche en proche, on connaîtra AB.

L'usage de la trigonométrie rectiligne (plane) apporte bien sûr quelques erreurs car c'est en fait la trigonométrie sphérique qui devrait plutôt s'appliquer (à condition de connaître le rayon de la Terre supposée sphérique : on tourne en rond...). Mais pour des distances réduites (de l'ordre de quelques kilomètres), fruits de la triangulation, ces erreurs sont faibles. De plus, Legendre apporta de subtiles formules de correction, ce qui rendit la méthode de triangulation extrêmement précise.