ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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MAXWELL James Clark, anglais, 1831- 1879

Ce célèbre physicien enseigna la physique dans différents collèges réputés du royaume. C'est à Cambridge qu'il se consacrera à la recherche sur le magnétisme et l'électricité et publiera une théorie électromagnétique de la lumière (1865), conséquence de ces travaux. Les célèbres quatre équations de Maxwell ( réf.1), compatibles avec la transformation de Lorentz,  contenaient déjà les principes de la relativité dont la découverte et la formalisation est attribuée au très célèbre Albert Einstein.

Maxwell travailla aussi sur la théorie cinétique des gaz en introduisant le calcul des probabilités dans le calcul de la position et de la vitesse des particules. Il s'agit alors de rechercher les répartitions les plus probables : avec l'autrichien Boltzmann, on parlera de mécanique statistique.

On lui doit, après
Grassmann, Hamilton et Gibbs, des résultats relatifs aux opérateurs différentiels sur les champs vectoriels apparaissant systématiquement en physique : thermodynamique, théorie du potentiel, champs électriques, mécanique des fluides : nabla, gradient, rotationnel, divergence.

Avec Maxwell, l'analyse vectorielle devient incontournable en sciences physiques. Curieusement, en France, cette jeune branche des mathématiques ne prendra vraiment sa place que tardivement, après la 1ère guerre mondiale (années 1920).

La notation des vecteurs à travers le temps :

Nabla et gradient :  

L'appellation nabla est due à Maxwell, sans doute issue de l'hébreu nêbel = harpe, en forme de Δ renversé : . Cette notation est utilisée pour désigner l'hamiltonien, un opérateur différentiel s'écrivant symboliquement dans une base orthonormée (i, j, k) :

                     notation et notion de dérivée partielle    

En appliquant à un champ de vecteurs U(x,y,z), on obtient le gradient de U : grad U = U

grad U est ainsi le vecteur de coordonnées (U/x , U/y , U/z).

Rotationnel :  

Si l'on se donne un champ vectoriel V de coordonnées (P,Q,R) dans une base orthonormale (i, j, k) de l'espace, le rotationnel de V est le champ vectoriel :

Au moyen de et désignant le produit vectoriel usuel, le rotationnel de V n'est autre que :

rot VV

Divergence :  

C'est le champ scalaire défini par

div V = P/x + Q/y + R/z

Il s'écrit div V = V,  produit scalaire usuel de par V. La divergence se rencontre dans les problèmes de flux avec conservation de masse ou d'énergie.


Vérifier que le rotationnel d'un gradient, opérateur , est nul
et qu'il en est de même de la divergence du rotationnel d'un champ V, à savoir  ( V).

Laplacien :  

Noté généralement Δ, pour un champ vectoriel de V(P,Q,R), il s'agit de ΔV =  div (grad V), soit :

   : c'est le laplacien        Laplace

La notation 2 est souvent utilisée pour signifier o (c'est à dire le nabla du nabla), on a donc ΔV = 2V.

En savoir un peu plus sur le laplacien :

  Pour en savoir plus :

  1. Les quatre équations de Maxwell sur le site JeRetiens de Sam Zylberberg :
    https://jeretiens.net/les-4-equations-de-maxwell/

  2. Maxwell : et la lumière fut ! un article de Yann Verdo, du journal Les Echos, sur le site de l'Institut Fresnel :
    https://www.fresnel.fr/spip/IMG/pdf/lesechos_05_01_2015.pdf


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