ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Loxodromie & orthodromie

Considérons une surface (Σ) de révolution, d'axe (d). Par exemple une sphère, un cylindre droit, un hyperboloïde ( surfaces usuelles). La section de cette surface par un plan contenant (d) est une méridienne de (Σ). La section de (Σ) par un plan orthogonal à (d) est un parallèle de (Σ) : ce sont des cercles.

Loxodromie :   

Un chemin de (Σ) coupant les méridiennes (et les parallèles) sous un angle constant (navigation à cap constant) est une loxodromie de (Σ), du grec loxos = oblique et dromos = course.

Les loxodromies du cylindre de révolution sont les hélices circulaires. Pour le tore, ce sont les cercles de Villarceau.

Orthodromie :   

Un chemin le long d'une méridienne est dit orthodromique, du grec ortho = droit et dromeîn = courir. On parle aussi d'orthodromie. C'est un plus court chemin (s'il existe) entre deux points de (Σ), portion de géodésique de (Σ). Sur la sphère, il s'agit d'une portion de grand cercle.

  Pedro Nonius

Sur une carte géographique de Mercator, les méridiens sont représentés par des droites parallèles. Par conséquent un chemin loxodromique est un segment de droite. Un tel chemin maritime pour un navire, le plus court sur la carte et le plus simple pour la navigation, n'est pas le plus court sur l'océan.

Calcul du chemin loxodromique :    

Considérons, sur le globe terrestre assimilé à une sphère de rayon 1 (ci-dessus), une route maritime loxodromique, suivant le cap non nul α : une position est déterminée par la longitude λ et la latitude φ. Si A(λ,φ) et B(λ + dλ,φ + dφ) désignent deux points infiniment proches.

On a :

dL = dφ.tan α , mais aussi : dL = cos φ.dλ

On a donc, entre la longitude et la latitude de tout point de la loxodromie, la relation : dφ/cos φ = dλ/tan α, d'où, en intégrant (C étant une constante arbitraire) :

            primitive de 1/cosx

et comme φ est comprise entre 0 et π/2, on aura alors entre deux points A(λA,φA) et B(λB,φB) :

La distance loxodromique AB est alors dφ = ds.cosα, c'est dire que pour un rayon terrestre R, le chemin loxodromique entre deux points A et B, de latitudes respectives φA et φB, est :

 

Calcul du chemin orthodromique :    

Un chemin orthodromique se calcule au moyen de la trigonométrie sphérique car dans ce cas, le triangle ABN est constitué de trois arcs de grand cercle. On a :

a = π/2 - φB   ,  b = π/2 - φA  ,  ^N = λB - λA

Selon la règle des cosinus, on a :  cos n = cos a.cos b + sin a.sin b.sin ^N , soit :

cos n = sinφA.sinφB + cosφA.cosφB.cos(λB - λA)

et par conséquent, le chemin orthodromique AB est :

AB = R Acs n     (Acs = fonction Arc cosinus, réciproque de cos)

A titre d'exemple, étudions le cas numériquement simple, d'un parcours maritime partant de l'équateur latitude 0 et longitude 0 (méridien de Greenwich) pour atteindre le point B de coordonnées 120° de longitude est et 60° de latitude nord. On a, en radians, A(0,0) et B(2π/3,π/3). Le petit programme ci-dessous, ( listing) fournit :

Une différence loin d'être négligeable : 3097 km !!!

On pourra consulter une jolie page sur le site Figures animées pour la physique de Geneviève Tulloue :
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.php



La loxodromie s'enroule en spirale autour du pôle, point asymptote de la courbe et dans une projection stéréographique sur le plan équatorial, deux tangentes à la sphère faisant entre elles un angle α se projettent en conservant le même angle.

          

Un chemin loxodromique sur une sphère se projette ainsi sur le plan équatorial en une courbe faisant un angle constant avec les méridiens projetés, donc avec tous les diamètres qui sont les projections de ces derniers : c'est une spirale équiangle, aussi appelée spirale logarithmique. C'est l'astronome Halley qui constata le premier ce résultat.

Clélies (courbes sphériques de Grandi) :

Listing du programme :    

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
var pi=3.141592653589793;
function go()
{
with (Math)
{
phi_a="0";long_a="0"
phi_a=eval(prompt("Latitude de A en d° = ",phi_a))
if (phi_a==null) {return}
long_a=eval(prompt("Longitude de A en d° = ",long_a))
if (long_a==null) {return}

phi_b="60";long_b="120"
phi_b=eval(prompt("Latitude de B en d° = ",phi_b))
if (phi_b==null) {return}
long_b=eval(prompt("Longitude de B en d° = ",long_b))
if (long_b==null) {return}

delta=phi_b-phi_a;phi_a=phi_a*pi/180;long_a=long_a*pi/180
phi_b=phi_b*pi/180;long_b=long_b*pi/180
if(delta!=0) 
// points de latitudes distinctes, la formule générale est en défaut !
{
tg=(phi_b-phi_a)/(log(tan(phi_b/2+pi/4))-log(tan(phi_a/2+pi/4)))
alpha=atan(tg);
d_loxo=6378*(phi_b-phi_a)/cos(alpha)
}
else
{
d_loxo=6378*cos(phi_a)*(long_b-long_a) 
// même latitude, la formule générale est en défaut
}
cos_n=sin(phi_a)*sin(phi_b)+cos(phi_a)*cos(phi_b)*cos(long_b-long_a)
d_ortho=6378*acos(cos_n)
alert("Distance loxodromique = "+d_loxo+"\n"+"Distance orthodromique = "+d_ortho)
}
}
</SCRIPT>


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