![]() ![]() Calcul du méridien terrestre : Eratosthène | Al-Biruni | Maupertuis | Méchain | Delambre | » Géodésie , Coordonnées géographiques et célestes |
Considérons une surface (Σ) de révolution, d'axe (d), comme une sphère, un cylindre droit, un hyperboloïde (» surfaces usuelles). La section de cette surface par un plan contenant (d) est une méridienne de (Σ). La section de (Σ) par un plan orthogonal à (d) est un parallèle de (Σ) : ce sont des cercles.
Dans le cas particulier d'une sphère de centre O, de rayon R, on parle de méridiens plutôt que de méridiennes : ce sont les grands cercles, de centre O, de rayon R, que l'on peut tracer sur la sphère.
➔ On remarquera qu'un cercle de centre O tracée sur la sphère est un grand cercle : son rayon est R, et qu'un cercle de rayon R tracée sur la sphère est nécessairement de centre O.
Dans le cas de la Terre assimilée à une sphère d'axe (d) = nord-sud, les méridiens définissent la longitude d'un lieu, celui de Greenwich définissant le méridien origine. Les parallèles sont alors les cercles centrés sur (d) dont le plan est orthogonal à (d définissant la latitude d'un lieu. Le parallèle de latitude zéro est l'équateur terrestre; son plan est perpendiculaire à l'axe de rotation de la Terre, parfois appelé axe du Monde, passant par les pôles nord (latitude 90°) et sud (-90°).
Les longitudes sont établies par rapport à Greenwich de -180° (180° West) à +180° (180 Est)
Le rayon moyen de la Terre est estimé à 6371 km. Le rayon équatorial est voisin de R = 6378 km. C'est cette valeur qui sera utilisée par défaut dans la pratique (programme JavaScript en fin de page.
Le rayon rp d'un parallèle
est fonction de sa latitude φ; on l'obtient par rp = R × cosφ.
Les méridiennes d'un cylindre droit d'axe (d) sont les droites parallèles à (d) tracées sur le cylindre. Ses parallèles sont les cercles centrés sur (d) dont le plan est orthogonal à (d).
Sphère céleste, équateur céleste : »
♦ Loxodromie :
Un chemin de (Σ) coupant les méridiennes (et les parallèles) sous un angle constant (navigation à cap constant) est une loxodromie de (Σ), du grec loxos = oblique et dromos = course.
» Les loxodromies du cylindre de révolution sont les hélices circulaires. Pour le tore, ce sont les cercles de Villarceau.
♦ Orthodromie :
Un chemin le long d'une méridienne est dit orthodromique, du grec ortho = droit et dromeîn = courir. On parle aussi d'orthodromie. C'est un plus court chemin (s'il existe) entre deux points de (Σ), portion de géodésique de (Σ). Sur la sphère, il s'agit d'une portion de grand cercle.
Sur une carte géographique de Mercator, les méridiens sont représentés par des droites parallèles. Par conséquent un chemin loxodromique est un segment de droite. Un tel chemin maritime pour un navire, le plus court sur la carte et le plus simple pour la navigation, n'est pas le plus court sur l'océan.
♦ Calcul du chemin loxodromique :
Considérons, sur le globe terrestre assimilé à une sphère de rayon 1 (ci-dessous), une route maritime loxodromique, suivant le cap non nul α : une position est déterminée par la longitude λ et la latitude φ. Si A(λ,φ) et B(λ + dλ,φ + dφ) désignent deux points infiniment proches, notons ds leur distance loxodromique se projetant en dL sur le parallèle de A.
On a :
dL = dφ.tan α , mais aussi : dL = cos φ.dλ, en tant que portion de parallèle de latitude φ, d'ouverture dλ. Par suite, entre la longitude et la latitude de tout point de la loxodromie, on a la relation différentielle : dφ/cos φ = dλ/tan α.
E
n intégrant, C étant une constante arbitraire :Le membre de gauche est bien défini pour toute latitude φ de l'intervalle ]-π/2,+ π/2[.
♦ Si φA ≠ φB : on applique la formule aux deux points A(λA,φA) et B(λB,φB). La constante C s'élimine :
La distance loxodromique AB est alors définie par dφ = ds.cosα, soit ds = dφ /cosα sur la sphère unité, c'est dire que pour un rayon terrestre R, le chemin loxodromique entre deux points A et B, de latitudes distinctes φA et φB, est :
♦
Si φA
= φB
: le problème est
résolu par AB =
R × cosφA
×
(λB
- λA) car on se déplace sur un
parallèle de latitude
φA.
➔ Noter qu'un résultat AB négatif signifie qu'on se déplace vers l'ouest (longitudes décroissantes). Le programme JavaScript ci-dessous affiche les résultats en valeur absolue.
♦ Calcul du chemin orthodromique :
Un chemin orthodromique se calcule au moyen de la trigonométrie
sphérique car dans ce
cas, le triangle ABN est constitué de trois arcs de grand
cercle. On a :
a = π/2 - φB , b = π/2 - φA , ^N = λB - λA
Selon la règle des cosinus, on a : cos n = cos a.cos b + sin a.sin b.cos ^N , soit :
et par conséquent, le chemin orthodromique AB est :
Petit complément sur la loxodromie :
La loxodromie s'enroule en spirale autour du pôle, point asymptote de la courbe, et dans une projection stéréographique sur le plan équatorial, deux tangentes à la sphère faisant entre elles un angle α se projettent en conservant le même angle.
Un chemin loxodromique sur une sphère se projette ainsi sur le plan équatorial en une courbe faisant un angle constant avec les méridiens projetés, donc avec tous les diamètres qui sont les projections de ces derniers : c'est une spirale équiangle, aussi appelée spirale logarithmique. C'est l'astronome Halley qui constata le premier ce résultat.
Clélies (courbes sphériques de Grandi) : »
A titre d'exemples :
On part de l'équateur latitude 0 et longitude 0 (méridien de Greenwich) pour atteindre le
point B de coordonnées 60° de latitude nord (60°N) et 120° de longitude Est
(120°E).
Le petit programme ci-dessous, (»
listing) fournit :
distance
loxodromique :
On part de Paris (48.9°N, 2.3°E) pour atteindre New York (40,7°N, 74°W); on entrera -74 pour signifier 74° à l'ouest de Greenwich, origine des coordonnées. En volant à 12 000 m, on peut ajouter 12 km au rayon terrestre, mais cela ne changera pas vraiment le résultat... Le programme fournit : distance loxodromique : 6073 km , distance orthodromique :
Un cas particulier (mêmes latitudes) : Départ :
(40°N,140°W), Arrivée : (40°N,160°E). Le programme fournit :
distance
loxodromique :
25554 km ,
distance orthodromique :
5008 km.
Autre cas particulier (mêmes longitudes) : Départ :
(78°N,107.7°E), Arrivée : (59.1°S,107.7°E). Le programme fournit :
distance
loxodromique :
15245 km ,
distance orthodromique :
15245 km. Et on pouvait s'attendre à un tel résultat.
<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript> var pi=3.141592653589793; function go() { with (Math) { phi_a="0";long_a="0" phi_a=eval(prompt("Latitude de A en d° = ",phi_a)) if (phi_a==null) {return} long_a=eval(prompt("Longitude de A en d° = ",long_a)) if (long_a==null) {return} phi_b="60";long_b="120" phi_b=eval(prompt("Latitude de B en d° = ",phi_b)) if (phi_b==null) {return} long_b=eval(prompt("Longitude de B en d° = ",long_b)) if (long_b==null) {return} rt = 6378; rt=eval(prompt("Rayon
de la Terre = ",rt)) |