Équation cartésienne d'un plan de l'espace usuel 3D TerC
Spécialité » méthode
plus élémentaire |
I - Méthode faisant appel au produit vectoriel :
L'équation cartésienne d'un plan de l'espace 3D est de la forme :
ax + by + cz + d = 0
où le triplet (x,y,z)
désigne les coordonnées d'un point M quelconque de ce plan. Un plan (P) de l'espace est défini par trois points distincts non alignés.
Notons-les A, B et C. Le plan (P) pourra alors se noter plus concrètement (ABC).
On appelle vecteur normal à un plan tout vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Il en est ainsi du vecteur orthogonal aux vecteurs AB et AC.
Connaissant AB et AC, on calcule facilement les coordonnées de n au moyen du produit vectoriel :
n = AB ^ AC
Si AB(u,v,w) et AC(u',v',w'), nous aurons :
n
Considérons A(1,3,2), B(2,2,4) et C(1,5,3).Nous aurons AB(1,-1,2) et AC(0,2,1). n = AB ^ AC est le vecteur de coordonnées (-5,-1,2) orthogonal à AB et à AC.
Tout point M(x,y,z) de l'espace
appartient au plan (ABC) si et seulement si AM (ou
BM ou CM) est orthogonal à n.
Le produit scalaire AM.n est
nul et conduit à l'équation énoncée en tout début de page.
AM a pour coordonnées le triplet : (x - 1,y - 3,z - 2), n a pour coordonnées (-5,-1,2). L'équation du plan (ABC) est alors:
5x + y -2z - 4 = 0
➔ Remarquer que les trois premiers coefficients de l'équation du plan sont à un coefficient multiplicatif (non nul) près, les coordonnées de n.
Avec les notations précédentes, nous recherchons un vecteur normal n(a,b,c) au plan (ABC) : pour cela, il nous faut calculer deux produits scalaires : n.AB et n.AC et les annuler. L'équation du plan est de la forme ax + by +cz + d = 0.
! Rappel : annuler un seul des deux ne suffit pas ! Un vecteur, comme n, est orthogonal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Nous connaissons AB et AC, nous aurons donc a - b + 2c = 0 et 2b + c = 0. Une composante de n est arbitraire : posons c = 1. Il vient b = -1/2 et a = - 5/2. Évitons les fractions en choisissant plutôt c = 2, b = -1, a = -5. Notre plan a pour équation - 5x - y + 2z + d = 0 ou si l'on préfère : 5x + y - 2z - d = 0.
Mais A(1,3,2) est élément du plan, ce qui permet de calculer le coefficient d : 5 + 3 - 4 - d = 0 : d = 4.
Nous retrouvons là l'équation du plan à l'aide du produit vectoriel : 5x + y - 2z - 4 = 0.