ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Spirale de Bernoulli (spirale logarithmique)

Cette magnifique spirale a pour équation polaire :

r = at = et.ln a     a > 0, a1

ln r = t x ln a

En effet, deux tels points correspondent à r(t) et r(t + kπ) et on vérifie facilement que le coefficient directeur d'une tangente au point M(t) est donné par m = (ln a.tan t + 1)/(lna - tan t); or tan t = tan (t + kπ).

r(t + 2π) = at + = at x a = r(t) x a

On remarquera ci-dessous (a = 1,1) que les distance entre les spires sont multipliées par 1,8 1,1.

  Noter que dans le cas de la spirale d'Archimède, cette distance est en progression arithmétique.


r = at, a = 1,1 > 1

Vu que r'(t) = ln a x r(t), suivant a < 1 ou > 1, r(t) décroît + à 0 ou croît strictement de 0 à +. On a r(0) = 1 et r(1) = a.

si a > 1 : l'origine est un point asymptote pour t infini négatif : la courbe s'enroule autour de O.
si a < 1 : l'origine est un
point asymptote pour t infini positif.

 Une spirale peut avoir une droite asymptote comme dans le cas de la spirale hyperbolique.

Folium de Descartes (point asymptote en l'origine) :

Cette courbe que Bernoulli prouva être égale à sa développée (enveloppe de ses normales) fut gravée sur son tombeau à Bâle avec l'inscription: Eadem mutata resurgo (Changée en moi-même, je renais). Mais aux dires de nombreux spécialistes ayant visité la tombe de Jacques Bernoulli, le sculpteur ou maçon aurait en fait tracé une spirale d'Archimède. Et l'erreur n'aurait pas encore été corrigée...On la retrouve chez certains céphalopodes comme l'ammonite (aujourd'hui disparu) ou les nautiles.

Cette forme en escargot possède une grande résistance mécanique à la pression. Avec la forme parabolique et elliptique, elle est utilisée dans la construction de certains barrages.

Ammonite          Nautile
 Fossiles d'ammonites, famille des Mantelliceras Pervinquieri

 Cochléoïde :        Autres spirales dans ChronoMath :  


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