ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Spirale de Bernoulli (spirale logarithmique)

Cette magnifique spirale, qu'étudia tout particulièrement Jakob Bernoulli, a pour équation polaire :

r = a^t = e^{t.ln a}     a > 0, a ≠ 1

• Elle est aussi appelée spirale logarithmique car en "passant au log", on voit que le logarithme de r est proportionnel à l'angle polaire t  :

ln r = t x ln a

•  Elle est aussi dite équiangle (ou équiangulaire) car les tangentes aux points d'intersection de la spirale avec tout axe polaire (c'est à dire passant par l'origine des coordonnées) sont parallèles :

En effet, deux tels points correspondent à r(t) et r(t + kπ) et on vérifie facilement que le coefficient directeur d'une tangente au point M(t) est donné par m = (ln a.tan t + 1)/(lna - tan t); or tan t = tan (t + kπ).

• A chaque tour, la distance des spires par rapport à O augmente en progression géométrique de raison a^2π puisque :

r(t + 2π) = a^{t + 2π} = a^t x a^2π = r(t) x a^2π

• Ci-dessous (a = 1,1) la raison est 1,1^2π ≅ 1,8.

La distance entre deux spires consécutives est r(t + 2π) - r(t) = a^{t + 2π} - a^t = a^t x (a^2π - 1)

 ➔  Dans le cas de la spirale d'Archimède, la distance des spires par rapport à O augmente en progression arithmétique et la distance entre deux spires consécutives est constante.

r = a^t, a = 1,1 > 1

Vu que r'(t) = ln a x r(t), suivant a < 1 ou > 1, r(t) décroît +∞ à 0 ou croît strictement de 0 à +∞. On a r(0) = 1 et r(1) = a.

♦ si a > 1 : l'origine est un point asymptote pour t infini négatif : la courbe s'enroule autour de O.
♦ si a < 1 : l'origine est un point asymptote pour t infini positif.

  ➔  Noter qu'une spirale peut avoir une droite asymptote comme dans le cas de la spirale hyperbolique par exemple.

Folium de Descartes (point asymptote en l'origine) : »

Cette courbe, que Jakob Bernoulli prouva être égale à sa développée (enveloppe de ses normales), fut gravée sur son tombeau à Bâle à la demande testamentaire de ce grand mathématicien, avec l'inscription : Eadem mutata resurgo (Changée en moi-même, je renais).

Mais le sculpteur ou maçon a en fait tracé une spirale dont la distance entre les spires semble constante. Il s'agirait donc plutôt d'une spirale d'Archimède ou, car techniquement beaucoup plus simple à tracer, d'une spirale à 2 centres dont l'artisan à complété la dernière spire pour obtenir l'anneau dans lequel est inscrite la maxime voulue par Jakob Bernoulli :

               
Source images Wikipedia (en) :              
       Spiral Galaxy NGC 5457 (ESA Hubble)                Barred Spiral Galaxy NGC 1300 (Public Domain NASA/ESA)

Spirale logarithmique ?...

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