ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Équations différentielles linéaires du 1er ordre           » Second ordre      Méthode de la variation de la constante       ∗∗∗ Exercices , équation différentielle homogène

Au lycée, les équations différentielles du 1er ordre sont entrevues en Terminale en liaison avec les sciences physiques. Deux cas sont étudiés :

y' = ay et y' = ay + b    où a et b sont des constantes réelles données.

Ce sont des cas particuliers d'équations linéaires du 1er ordre. Les solutions sont respectivement :

y = ke^ax   et   y = ke^ax - b/a

 ➔  Par linéaire, (du latin linea = ligne droite), on veut signifier, depuis le 18è siècle avec d'Alembert dans son Encyclopédie (1752), que les inconnues (ici y et y') n'apparaissent qu'au premier degré : pas d'exposant entier ou fractionnaire. En algèbre les équations ax + b = 0 ou ax + by + c = 0 sont des équations linéaires respectivement à 1 et 2 variables. En termes de fonction, on distingue aujourd'hui les appellations f(x) = ax : fonction linéaire et f(x) = ax + b : fonction affine (terme moderne, du latin affinis = voisin, allié), dont les représentations graphiques sont des droites (des lignes).

On étudie ici le cas général. La fonction exponentielle correspondant à y' = y et y(0) = 1 étant supposée connue, par exemple en tant que fonction réciproque de la fonction logarithme népérien ou en tant que fonction f, non nulle, dérivable sur R, telle que f(x + y) = f(x) × f(y) et f(0) = f'(0) :

Différentes approches de la fonction exponentielle : »

Les fonctions x → a(x), x → b(x) et x → c(x) étant continues sur un intervalle J de R, l'équation différentielle linéaire (par rapport à y et y') du premier ordre s'écrit sous la forme :

et se résout facilement si l'on en connaît une solution particulière. En effet, soit y_o = φ(x) une solution particulière de (e). Par différence et en posant Y = y - y_o, on obtient :

Une telle équation est dite sans second membre ou, parfois, homogène : le second membre est nul.

 !  Le qualificatif homogène n'est pas très heureux car il entretient une confusion avec les équations différentielles homogènes pouvant se ramener à une équation de la forme φ(y',y/x) = 0 et se résolvant en posant t = y/x. De plus, ne pas oublier que y_o est une fonction et non une constante, raison pour laquelle on a posé y_o = φ(x) pour éviter toute ambiguïté dans la suite de l'exposé.

 ➔  On peut supposer maintenant que x → a(x) ne s'annule pas sur tout un sous-intervalle J' de J : l'équation ne serait plus différentielle sur J'... Les cas où a(x) = 0 pour des valeurs isolées de x se traitent en revenant à l'équation initiale : b(x)y = c(x). Donc, quitte à décomposer J en une réunion finie ou dénombrable d'intervalles sur lesquels a(x) est non nul, on peut supposer a(x) non nul sur J.

L'équation sans second membre (h) peut se résoudre par quadrature car l'on peut séparer les variables x et Y en écrivant, sous la condition Y(x) non nul en tout point de J :

Si f(x) désigne une primitive de -b(x)/a(x), on a successivement ln |Y| = f(x) + C, puis |Y| = e^{f(x) + C} = e^C × e^f(x) avec C constante arbitraire et enfin Y = ± e^C × e^f(x). à ce stade, il apparait une ambiguïté sur le signe de Y. Mais Y est une fonction de x. Sa continuité impose un choix entre les deux déterminations trouvées, l'une strictement positive, l'autre strictement négative. Une condition initiale, du type Y prend la valeur Yo en x = xo, par exemple Y(0) = 1, pourra lever l'ambiguïté. Le nombre ± e^C peut prendre toute valeur réelle, donc en posant k = ± e^C, la solution générale de (h) peut donc s'écrire :

où f(x) désigne une primitive de -b(x)/a(x) et k une constante réelle arbitraire.

 !  Noter que ce résultat ne signifie nullement que Y est une fonction de type exponentiel car si f est une fonction logarithmique du type ln(u(x)), alors Y = k.u(x) ! Par exemple, si f(x) s'avère être ln(√x), on aura Y = k√x.

La solution de (e) s'obtient en ajoutant à y la solution particulière φ(x) :

La valeur de k sera calculée compte tenu d'un condition initiale : valeur connue de y ou de y' en un point donné.

 ➔  La solution Y précédemment trouvée ne s'annule effectivement pas sur J (comme supposé) si la constante k est choisie non nulle. Mais la question est de savoir si cette résolution fournit toutes les solutions de (h) ?

En remarquant, avec les notations précédentes, que la fonction x → e^f(x) est effectivement une solution de (h) ne prenant jamais la valeur 0, on est en droit de poser g(x) = Y/e^f(x), c'est à dire Y = g(x)e^f(x) où g désigne une fonction dérivable sur J. En reportant dans (h), et en simplifiant par e^f(x), on obtient :

a(x)g'(x) + a(x)g(x)f '(x) + b(x)g(x) = 0 pour tout x de J

Mais f '(x) = -b(x)/a(x). Il nous reste donc a(x)g'(x) = 0 pour tout x de J. C'est dire que g'(x) = 0 sur J, donc que g est constante sur J : la solution de (h) est donc bien Y = k.e^f(x)

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Un exemple de résolution , autres exercices

Recherche d'une solution particulière de l'équation complète par variation de la constante :    

On a vu ci-dessus que la résolution de (e) réside dans :

• la recherche d'une primitive de -b(x)/a(x) : résolution de (h);
• la recherche d'une solution particulière y_o de (e);

Concernant ce second point, On doit à Laplace une méthode astucieuse si le premier est résolu, dite de la variation de la constante :

Si Y est solution de (h) et ne s'annule pas sur J, on peut écrire qu'une solution particulière de (e) est :

y = k(x).Y(x)

où k = y/Y est une fonction à déterminer. Or, k est dérivable et on a : y' = k'Y + kY'. En reportant dans (e) on obtient :

Le crochet est identiquement nul, donc :

et on obtiendra k par une simple quadrature (si tout se passe bien...).

 ➔  L'ensemble des solutions de (h), donc de la forme Y = k.e^f(x), constitue un espace vectoriel de dimension 1. Par suite, si y₁ et y₂ sont des solutions particulières linéairement indépendantes de l'équation complète (e), alors y₁ - y₂ est solution de (h) et par conséquent, k(y₁ - y₂), où k est un nombre réel arbitraire, est la solution générale de cette équation.

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Résoudre les équations différentielles :
1. y' + y + 1 = e^x       2. y' + y = cos x       3. xy' + 2y = e^x , y(1) =0     4. y'' - 8y' + 15y = e^3xcos2x     (on posera y = ze^3x) ☼

5. Soit l'équation différentielle du 1er ordre (x² - x)y' - (x - 2)y = x⁴e^x

Rep : y = kx²/(x - 1), k réel quelconque    »  décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle.
b) Donner toutes les solutions par la méthode de la variation de la constante. Rep : k'(x) = xe^x, et finalement y = x²[e^x + k/(x - 1)]

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Autres exercices avec solution :