ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Équations différentielles linéaires du 1er ordre           Second ordre
    
Méthode de la variation de la constante       Exercices , équation différentielle homogène

Au lycée, les équations différentielles du 1er ordre sont entrevues en Terminale en liaison avec les sciences physiques. Deux cas sont étudiés :

y' = ay et y' = ay + b    où a et b sont des constantes réelles données.

Ce sont des cas particuliers d'équations linéaires du 1er ordre. Les solutions sont respectivement :

y = keax   et   y = keax -b/a

  Par linéaire, (du latin linea = ligne droite), on veut signifier, depuis le 18è siècle avec d'Alembert dans son Encyclopédie (1752), que les inconnues (ici y et y') n'apparaissent qu'au premier degré : pas d'exposant entier ou fractionnaire. En algèbre les équations ax + b = 0 ou ax + by + c = 0 sont des équations linéaires respectivement à 1 et 2 variables. En termes de fonction, on distingue aujourd'hui les appellations f(x) = ax : fonction linéaire et f(x) = ax + b : fonction affine (terme moderne, du latin affinis = voisin, allié), dont les représentations graphiques sont des droites (des lignes).

On étudie ici le cas général. La fonction exponentielle correspondant à y' = y et y(0) = 1 étant supposée connue, par exemple en tant que fonction réciproque de la fonction logarithme népérien ou en tant que fonction f, non nulle, dérivable sur R, telle que f(x + y) = f(x)f(y) et f(0) = (0) :

Différentes approches de la fonction exponentielle :

Les fonctions xa(x), xb(x) et xc(x) étant continues sur un intervalle J de R, l'équation différentielle linéaire (par rapport à y et y') du premier ordre s'écrit sous la forme :

a(x).y' + b(x).y = c(x) , xJ         (e)

et se résout facilement si l'on en connaît une solution particulière. En effet, soit yo une solution de (e). Par différence et en posant Y = y - yo, on obtient :

a(x).Y' + b(x).Y = 0       (h)

Une telle équation est dite sans second membre ou, parfois, homogène : le second membre est nul.

A noter que le qualificatif homogène n'est pas très heureux car il entretient une confusion avec les équations différentielles homogènes.

  Un point important :  on peut supposer maintenant que x a(x) ne s'annule pas sur tout un sous-intervalle J' de J : l'équation ne serait plus différentielle sur J'... Les cas où a(x) = 0 pour des valeurs isolées de x se traitent en revenant à l'équation initiale : b(x)y = c(x). Donc, quitte à décomposer J en une réunion finie ou dénombrable d'intervalles sur lesquels a(x) est non nul, on peut supposer a(x) non nul sur J.

L'équation sans second membre (h) peut se résoudre par quadrature car l'on peut séparer les variables x et Y en écrivant, sous la condition Y(x) non nul en tout point de J :

Y'/Y = -b(x)/a(x)

Si f(x) désigne une primitive de -b(x)/a(x), on a successivement ln |Y| = f(x) + C, ln désignant le logarithme népérien . Puis |Y| = ef(x) + C = eCef(x) avec C une constante arbitraire.

La solution générale de (h) peut donc s'écrire :

Y = k.ef(x)

où f(x) désigne une primitive de -b(x)/a(x) et k une constante arbitraire. La solution de (e) s'obtient en ajoutant yo :

y = yo + k.ef(x)

La valeur de k sera calculée compte tenu d'un condition initiale : valeur connue de y ou de y' en un point donné.

La solution Y précédemment trouvée ne s'annule effectivement pas sur J (comme supposé) si la constante k est choisie non nulle. Mais la question est de savoir si cette résolution fournit toutes les solutions de (h) ?

En remarquant, avec les notations précédentes, que xef(x) est effectivement une solution de (h) ne prenant jamais la valeur 0, on est en droit de poser g(x) = Y/ef(x), c'est à dire Y = g(x)ef(x) où g désigne une fonction dérivable sur J. En reportant dans (h), et en simplifiant par ef(x), on obtient :

a(x)g'(x) + a(x)g(x)(x) + b(x)g(x) = 0 pour tout x de J

Mais (x) = -b(x)/a(x). Il nous reste donc a(x)g'(x) = 0 pour tout x de J. C'est dire que g'(x) = 0 sur J, donc que g est constante sur J : la solution de (h) est donc bien Y = k.ef(x)

  Un exemple de résolution , autres exercices

Équation différentielle à variables séparables :    

D'une façon générale, on appelle équation différentielle à variables séparables, une équation pouvant se ramener à la forme

f(y).y' = g(x)

c'est à dire à l'égalité de deux différentielles : f(y).dy = g(x).dx.

La solution est alors de la forme F(y) = G(x) + C, où F et G désignent respectivement des primitives de f et g, C étant une constante arbitraire.

Recherche d'une solution particulière de l'équation complète : méthode de la variation de la constante

On a vu ci-dessus que la résolution de (e) réside dans :

Concernant ce second point, On doit à Laplace une méthode astucieuse si le premier est résolu, dite de la variation de la constante :

Si Y est solution de (h) et ne s'annule pas sur J, on peut écrire qu'une solution particulière de (e) est y = k(x).Y(x) où k = y/Y est une fonction à déterminer. Or, k est dérivable et on a : y' = k'Y + kY'. En reportant dans (e) on obtient :

[a(x).Y' + b(x).Y].k + a(x).k'Y = c(x)

Le crochet est identiquement nul, donc :

et on obtiendra k par une simple quadrature (si tout se passe bien...).

 Remarquer que l'ensemble des solutions de (h), donc de la forme Y = k.ef(x), constitue un espace vectoriel de dimension 1. Par suite, si y1 et y2 sont des solutions particulières linéairement indépendantes de l'équation complète (e), alors y1 - y2 est solution de (h) et par conséquent, k(y1 - y2), où k est un nombre réel arbitraire, est la solution générale de cette équation.

Équation différentielle linéaire du second ordre :


Trois cas simples d'illustration : résoudre les équations différentielles :
1.
y' + y + 1 = ex             2. y' + y = cos x             3. xy' + 2y = ex , y(1) =0     
4.
y'' - 8y' + 15y = e3xcos2x     (on posera y = ze3x)            solutions

Un cas moins évident :


Rep : y = kx2/(x - 1), k réel quelconque    décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle.
b) Donner toutes les solutions par la méthode de la variation de la constante.

    Rep :
k'(x) = xex, et finalement y = x2[ex + k/(x - 1)]



Autres exercices (corrigés) :

Résolution de l'équation2y' - y =  x et étude d'une courbe intégrale.

Résolution & étude des courbes intégrales de x2y' - y =  x2 - x + 1

Résolution & étude des courbes intégrales de x3y' + 3x2y = 1

Résolution par changement de variable et décomposition en éléments simples  de xy2 + x2(x + 1)yy' = 5 - 3x

Radioactivité période du radium #1 , dm = -km.dt

Radioactivité période du radium #2

Refroidissement d'un réacteur   1er ordre linéaire : y + 10y' = 16

Carbone 14  datation , premier ordre linéaire

Circuit RC  décharge d'un condensateur , premier ordre linéaire

 


© Serge Mehl - www.chronomath.com


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solutions :

1. L'équation que nous notons (e) s'écrit  y' + y = ex - 1.

L'équation sans second membre Y' + Y = 0 s'écrit Y'/Y = - 1. C'est dire que Y = k.e-x. Recherchons une solution particulière au moyen de la méthode de la variation de la constante :

Si y = k(x).e-x, alors y' = k'e-x - k.e-x; on reporte dans (e), ce qui fournit k' = e2x - ex, soit : k(x) = e2x/2 - ex (à une constante additive près que nous choisissons nulle, puisqu'il s'agit ici de la recherche d'une solution particulière).

Une solution particulière de (e) est donc yo = ex/2 - 1 et la solution générale est Y + yo soit :

y = k.e-x + ½ex - 1 , k R

2. Pour ce second cas, la méthode de la variation de la constante conduit à k' = ex.cos x, ce qui nécessite une intégration par parties  : à une constante additive près, on sait que :

u'v = uv - uv'

On trouve sans difficultés : k(x) = ½(sin x + cos x) et finalement :

y = Ce-x + ½(sin x + cos x) , C R

Dans ces deux cas, on aurait pu procéder par tâtonnement dans la recherche de la solution particulière, ces dernières paraissent assez "naturelles" vu la nature de l'équation. Mais :

  1. c'est toujours facile de dire cela quand on connaît le résultat...

  2. procéder par tâtonnements peut souvent prendre plus de temps et ce n'est pas très rigoureux à moins de parler d'intuition, ce qui est plus élégant...

Toutefois, concernant le 1er cas, il est intéressant de connaître le résultat bien évident (par raison de linéarité) suivant :

Si le second membre est de la forme f1(x) + f2(x) + ... et si y1, y2, ... sont des solutions particulières de l'équation obtenue en substituant respectivement f1(x), f2(x), ... au second membre, alors y1 + y2 + ... est une solution particulière de l'équation avec second membre.

Dans notre cas, il est clair que :

On retrouve ainsi très simplement le résultat obtenu par variation de la constante.

 3. La solution de l'équation homogène vérifie ln |Y| = ln(1/x2) + k = ln(ek/x2). Ainsi Y = C/x2 en posant C = ±ek.

La méthode de la variation de la constante conduit à rechercher une solution particulière sous la forme y = a/x2 avec y' = a'/x2 - 2a/x3, d'où a' = x.ex et une intégration par parties fournit a = (x - 1) ex (à une constante additive près) :

Mais y(1) = 0, donc 0 = C et la solution de l'équation est finalement :

 

 4. En posant, comme indiqué, y = ze3x, on est conduit à z" - 2z' = cos2x. On pose alors u = z' pour se ramener au 1er ordre. On obtient u = ke2x comme solution générale de l'équation homogène.

La méthode de la variation de la constante fournit k par double intégration par parties et on obtient u = ¼(sin2x - cos2x). Finalement z = -(sin2x + cos2x)/8 + C + ½ke2x . Par conséquent :

y = [-(sin2x + cos2x)/8 + C]e3x + ½ke5x


© Serge Mehl - www.chronomath.com