ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Sinus hyperbolique       Cosinus hyperbolique            » Fonctions réciproques Argsh et Argch , tangente & cotangente hyperboliques , sinus , cosinus , tangente , cotangente

» L'approche historique de ces fonctions se trouve sur la page de leur inventeur Vincenzo Riccati (1765) : clic sur la clé...

• Nom de la fonction : sinus hyperbolique, abrégé en sh ou sinh. C'est une fonction transcendante.

• Étymologie : du latin sinus = pli, cavité (→ sinus), mais cette racine sémantique est erronée (→ Regiomontanus), le qualificatif hyperbolique, dérivé de hyperbole, est due à V. Riccati. La fonction fut étudiée par Lambert.

• Ensemble de définition : R.
• Fonction impaire = sh(-x) = -sh(x), ci-contre représentée en rouge. La courbe en bleu représente ch(x).
• Fonction dérivée & Primitive  : ch, cosinus hyperbolique.
• Nom de la courbe associée : ///
• Développement en série : on le déduit de celui de x → e^x (→ Euler) :

• Applications :    

nombreuses en mécanique, statique où il apparaît dans la résolution d'équations différentielles.

• Formules élémentaires :    
   

• sh(a + b) = sh a.ch b + sh b.ch a

• sh(a - b) = sh a.ch b -  sh b.ch a

• sh 2a = 2sh a.ch a

• sh 3a = 3sh a + 4sh³a

• ch x + sh x = e^x   ,  ch x - sh x = e^-x  : » ch x ci-dessous

• sh x ± sh y : » ch x ci-dessous

• sh(ix) = i.sin x  eu égard à la formule d'Euler : e^x = cos x + i.sin x

• ch²x - sh²x = 1

• (ch x + sh x)ⁿ = ch nx + sh nx        » de Moivre
  
  
   

  
  ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
  à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cosinus hyperbolique

 

• Nom de la fonction : cosinus hyperbolique, abrégé en ch ou cosh. C'est une fonction transcendante.

• Étymologie : du latin sinus = pli, cavité (→ sinus), mais cette racine sémantique est erronée (→ Regiomontanus), latin cum = co au sens de associé, hyperbolique est due à V. Riccati, dérivé de hyperbole. La fonction fut étudiée par Lambert.

• Ensemble de définition : R.
• Périodique : non
• Fonction paire : ch(-x) = ch(x), représentée en bleu ci-contre. La courbe en rouge représente sh(x).
• Fonction dérivée & Primitive : sh, sinus hyperbolique
• Nom de la courbe associée : chaînette.
• Développement en série : on le déduit de celui de x → e^x (→ Euler) :

• Applications :    

nombreuses en mécanique et statique où il apparaît dans la résolution d'équations différentielles.

• Formules élémentaires :    

• ch²x - sh²x = 1

• ch(a + b) = ch a.ch b + sh b.sh a

• ch(a - b) = ch a.ch b -  sh b.sh a

• ch 2a = ch²a + sh²a = 2ch²a - 1 = 2sh²a +1

• ch 3a = 4ch³a - 3ch a

• ch(ix) = cos x  eu égard à la formule d'Euler : e^ix = cos x + i.sin x

• ch x + sh x = e^x , ch x - sh x = e^-x

• (ch x + sh x)ⁿ = ch nx + sh nx        » de Moivre

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      •                 » Remarque la similitude avec les formules relatives aux fonctions circulaires sin et cos

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∗∗∗  Une approche purement algébrico-fonctionnelle de sh et ch... :  »