ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Loi des grands nombres (dite faible)            
       Lois fortes :  
Borel , Kolmogorov  |  Loi des grands nombres selon Poisson

Jacques Bernoulli énonça cette loi en 1680 mais elle ne fut publiée qu'après sa mort en 1713 dans l'Ars Conjectandi par son neveu Nicolas.

X désignant une variable de Bernoulli de loi de probabilité Prob{X = 1) = p (événement appelé succès) et Prob{X = 0} = q (échec). Répétons n fois cette épreuve. X prend les valeurs xi = 0 ou 1 et notons kn = x1 + x2 + ... + xn le nombre de succès obtenu à l'issue des n expériences : kn suit une loi binomiale.

La loi des grands nombres exprime que si n tend vers l'infini, l'événement {kn/n - p 0} devient certain. Autrement dit :

Plus n est grand, plus il est probable que kn/n soit voisin de p


Ce timbre à l'effigie de Jakob Bernoulli exprime que kn/n tend vers p,
espérance mathématique de la loi binomiale.
 

En termes plus rigoureux :

ε > 0 , lim Prob{| kn/n  -  p | < ε} = 1

  Il n'est pas dit que le quotient kn/n tend vers p au sens des suites numériques, mais seulement que l'événement {kn/n ne tend pas vers p} est improbable : on parle de convergence en probabilité.

Cette loi des grands nombres peut être facilement prouvée au moyen de l'inégalité dite de Bienaymé-Tchebychev.

L'appellation loi des grands nombres apparaît au 19è siècle avec Poisson (1837). Au début du 20è siècle, Borel, suivi de Kolmogorov énoncent la loi forte des grands nombres dans le cadre de la théorie de la mesure faisant usage d'une convergence plus raffinée, la convergence presque sure, d'où le qualificatif de faible pour celle de Bernoulli.

Loi binomiale et loi des grands nombres :                 La loi des grands nombres selon Poisson :

Convergence en probabilité, convergence presque sûre :      

Plus généralement, si (Xn) est une suite de variables aléatoire dans un espace probabilisé Ω, on dit que la suite (Xn) converge vers la variable aléatoire X,


Montrer que la convergence presque sure entraîne la convergence en probabilité

Sans doute voyez-vous là quelque ressemblance avec la notion de propriété vraie presque partout et ensemble négligeable. Et pour cause ! Depuis 1933, avec Kolmogorov, le calcul des probabilités est devenu une branche de la théorie de la mesure.

Borel et la théorie de la mesure :                   Tribu et espace probabilisé :

On dira de deux variables aléatoires X et Y qu'elles sont égales presque sûrement si Pr{ωΩ / |Xn(ω) X(ω)| = 0. On écrit X = Y (ps). Cette égalité est une relation d'équivalence dans l'ensemble des variables aléatoires définies sur Ω.

Loi forte des grands nombres selon Borel :                    Loi forte des grands nombres selon Kolmogorov :

  Une application inattendue de la loi faible des grands nombres est le calcul aléatoire du nombre π en lançant des fléchettes dans une cible semi-circulaire :

Un calcul aléatoire de π :   

Autres liens sur ce sujet : Pile ou face et trompeuse intuition , Paradoxe de Saint-Pétersbourg


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