ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cochléoïde            du latin cochlea = limaçon et du grec eïdos = forme

Cette magnifique bête a été observée et photographiée à Chartrettes (F-77590) le 04/04/1999

 L'équation (coordonnées polaires) de cet escargot est :

 

La cochléoïde apparaît comme la projection conique (projection centrale) d'une hélice circulaire lorsque le centre de la projection est choisi sur cette dernière :

Dans un repère orthonormé (0,x,y,z), l'équation de l'hélice d'axe Oz le long d'un cylindre de rayon R, est de la forme :

x = Rcos t , y = Rsin t, z = at , où a est une constante ici positive

Choisissons comme centre de la projection conique le point A(0, R, aπ/2) correspondant à t = π/2. Notons m(x,y,z) un point de l'hélice et M le point projeté sur le plan xOy.

Pour chaque t, la droite (Am) est dirigée par (Rcos t , R(sin t - 1), at - aπ/2) et pour tout point M(X,Y,Z) de (Am), on peut alors s'écrire :

X = λRcos t
Y - R = λR(sin t - 1)
Z - aπ/2 = λa(t - π/2)

Le point projeté M(X,Y,Z) est défini par Z = 0 donc par λ/2 - t) = π/2. D'où :

En savoir plus sur les coordonnées paramétriques :

Le tracé de cette courbe ressemble bigrement à une cochléoïde. Montrons-le :

A une translation près, en retirant R à Y, puis en choisissant R tel que Rπ/2 = 1 (homothétie) et en posant enfin θ = π/2 - t, il vient :

par symétrie (isométrie) par rapport à (OX), on peut remplacer par :

ou encore :

Passons en coordonnées polaires r = f(T) avec T = π/2 - θ/2. On doit avoir X = rcosT et Y = rsinT. Ceci est loisible avec :

C'est bien le résultat cherché.

Spirale hyperbolique :                        Quadratrice de Dinostrate

       Projection orthogonale plane d'une hélice circulaire


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