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Lemniscate : podaire de l'hyperbole           animation      lemniscate , hyperbole

On considère l'hyperbole équilatère d'équation x2 - y2 = 1. Nous cherchons sa podaire par rapport à l'origine des coordonnées. Nous pourrions utiliser l'équation générale de la podaire mais dans ce cas simple, on peut refaire le calcul :

On a en tout point M(x,y) de l'hyperbole : 2x - 2yy' = 0, donc y' = x/y. L'équation de la tangente (t) en M est donc : Y - y = (x/y)(X - x) et celle de la à (t) passant par O : Y = (-y/x)X. La podaire cherchée est le lieu du point P(X,Y).

On trouve facilement que :

X = x/(x2 + y2) , Y = X = -y/(x2 + y2)

D'où X2 - Y2 = 1/(x2 + y2)2  et  X2 + Y2 = 1/(x2 + y2). une équation de la podaire est donc :

(X2 + Y2)2 = X2 - Y2

C'est l'équation cartésienne d'une lemniscate de Bernoulli.

Rappelons que la lemniscate est aussi l'inverse (inversion géométrique) de l'hyperbole lorsque O est choisi comme pôle.


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