ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Lemniscate : podaire de l'hyperbole         » lemniscate , hyperbole

On considère l'hyperbole équilatère d'équation x² - y² = 1. Nous cherchons sa podaire par rapport à l'origine des coordonnées. Nous pourrions utiliser l'équation générale de la podaire mais dans ce cas simple, on peut refaire le calcul :

On a en tout point M(x,y) de l'hyperbole : 2x - 2yy' = 0, donc y' = x/y. L'équation de la tangente (t) en M est donc : Y - y = (x/y)(X - x) et celle de la à (t) passant par O : Y = (-y/x)X. La podaire cherchée est le lieu du point P(X,Y).

Voir l'animation :

On trouve facilement que :

D'où X² - Y² = 1/(x² + y²)²  et  X² + Y² = 1/(x² + y²). une équation de la podaire est donc :

C'est l'équation cartésienne d'une lemniscate de Bernoulli.

 ➔   Rappelons que la lemniscate est aussi l'inverse (inversion géométrique) de l'hyperbole lorsque O est choisi comme pôle.