ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Podaire d'une
courbe (anglais : pedal curve)
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étude de cas |
On nomme podaire d'une courbe (c) par rapport à un point P l'ensemble des points H qui sont les pieds des perpendiculaires menées de P aux tangentes à (c). D'où le nom, du grec poûs, podos = pied.
➔ Si on note (c') la podaire de (c) par rapport à P, on dira que (c) est l'antipodaire (ou la podaire inverse) de (c') par rapport à P :
(c') podaire de (c) par rapport à P ⇔ (c) antipodaire de (c') par rapport à P
Exemple : L'antipodaire d'une parabole par rapport à son foyer est la cubique de Tschirnhausen : en d'autres termes la parabole est la podaire de cette cubique par rapport à son foyer.
Pour des raisons pratiques, supposons la courbe (c) définie en coordonnées paramétriques :
Notons simplement x' et y' les dérivées de x(t) et y(t) par rapport à t. L'équation de la tangente en un point M(x,y) est alors :
L'équation de la perpendiculaire issue d'un point P(a,b) est alors :
La résolution du système en X et Y obtenu par conjonction de (e1) et (e2) fournit l'équation paramétrique de la podaire, lieu des points H(X,Y) :
Quitte à changer de repère, nous pouvons supposer que P est à l'origine des coordonnées :
| Cas du cercle : |
Un exemple élémentaire est donné par la podaire d'un cercle : limaçon de Pascal se réduisant à une cardioïde lorsque P est choisi sur le cercle. On peut traiter ce cas analytiquement ou géométriquement (en tant que conchoïde de cercle).
| Autres cas étudiés sur ChronoMath : |
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