ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Podaire d'une courbe (anglais : pedal curve)        étude de cas

On nomme podaire d'une courbe (c) par rapport à un point P l'ensemble des points H qui sont les pieds des perpendiculaires menées de P aux tangentes à (c). D'où le nom, du grec poûs, podos = pied.

 Si on note (c') la podaire de (c) par rapport à P, on dira que (c) est l'antipodaire (ou la podaire inverse) de (c') par rapport à P :

  (c') podaire de (c) par rapport à P (c) antipodaire de (c') par rapport à P

Exemple : L'antipodaire d'une parabole par rapport à son foyer est la cubique de Tschirnhausen : en d'autres termes la parabole est la podaire de cette cubique par rapport à son foyer.

Pour des raisons pratiques, supposons la courbe (c) définie en coordonnées paramétriques :

M(x,y) (c) x = x(t) , y = y(t)

Notons simplement x' et y' les dérivées de x(t) et y(t) par rapport à t. L'équation de la tangente en un point M(x,y) est alors :

Y - y = y'/x'(X - x)         (e1)

L'équation de la perpendiculaire issue d'un point P(a,b) est alors :

Y - b = -x'/y'(X - a)         (e2)

La résolution du système en X et Y obtenu par conjonction de (e1) et (e2)  fournit l'équation paramétrique de la podaire, lieu des points H(X,Y) :

Quitte à changer de repère, nous pouvons supposer que P est à l'origine des coordonnées :

Cas du cercle :

Un exemple élémentaire est donné par la podaire d'un cercle : limaçon de Pascal se réduisant à une cardioïde lorsque P est choisi sur le cercle. On peut traiter ce cas analytiquement ou géométriquement (en tant que conchoïde de cercle).

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