ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 STEINITZ Ernst,
allemand, 1871-1928 |
Steinitz étudia à Breslau,
ancienne ville déchirée par les guerres entre la Prusse, l'Autriche et la
Pologne, à qui elle est rattachée à l'issue de la seconde guerre mondiale sous
son nom d'origine, Wroclaw. Sa thèse (1894) portait sur les
configurations (de droites et points) en géométrie projective, sujet combinatoire proche de la théorie
des graphes.
Steinitz est, avec Hilbert et Hensel, un des fondateurs de l'algèbre axiomatique moderne. Professeur au Collège technique de Breslau puis à l'université de Kiel (1920), il est l'auteur d'importants travaux, voire définitifs, sur les structures algébriques dans sa vaste synthèse (1910) : Algebraische Theorie der Körper (Théorie algébrique des corps), où la notion de corps de nombres, déjà définie par son compatrioite et contemporain Heinrich Weber, est abordée dans le cadre général des structures algébriques.
| Théorème de Steinitz : |
Un corps K est dit algébriquement clos, si tout polynôme (non constant) de K[X], polynômes à coefficients dans K, est factorisable en un produit de facteurs du 1er degré (facteurs linéaires). On peut donner une définition équivalente sous la forme :
Tout polynôme non constant de K[X] admet au moins un zéro dans K
R n'est pas algébriquement clos. Preuve en est x → x2 + 1 non factorisable dans R.
Dans l'ensemble C des nombres complexes, on peut écrire (x + i)(x - i) = x2 + 1. En tant qu'extension algébrique simple de R, C est algébriquement clos.
Aucun corps fini n'est algébriquement clos : en effet, si ce corps K est constitué de n éléments x1, x2, ...,xn, notons 0 son élément nul et 1 son élément unité. On a 0 ≠ 1 (» anneau, proposition 1). Posons f(x) = 1 + Π(x - xi) : ce polynôme n'admet pas de zéro dans K car on aurait alors 0 = 1.
D'une façon générale, on dit qu'une extension algébrique K d'un corps k est une clôture algébrique de k si l'extension K est algébriquement close.
Le théorème de Steinitz énonce que :
Tout corps commutatif admet une clôture algébrique
C est la plus petite clôture algébrique de R (au sens de l'inclusion).
Selon l'exemple 3 ci-dessus, la clôture algébrique d'un corps fini est infini.
d'Alembert et le théorème fondamental de l'algèbre : »
Le théorème de Steinitz stipule également que :
Si
K et
K' sont deux clôtures algébriques d'un même corps
k,
il existe alors un isomorphisme de K sur
K'
dont la restriction à k est l'identité.
» Wedderburn Corps de nombres algébriques : »
| Caractéristique d'un corps : |
Steinitz définit la caractéristique d'un corps (K,+,×) d'éléments neutres 1 (multiplication) et 0 (addition) : c'est le plus petit entier naturel non nul k, s'il existe, tel que k×1 = 0, le "produit" k1 désignant, dans le groupe (K,+), la somme de k éléments égaux à 1.
Si k, non nul, n'existe pas, on dira que la caractéristique du corps K est nulle. C'est le cas si le groupe cyclique engendré par 1 est infini.
La caractéristique de R est nulle.
Le corps Z/3Z des
classes résiduelles modulo 3, issu de la relation
d'équivalence a
≡ b ssi a - b est multiple de 3 est de caractéristique 3.
En effet, en notant 0 ,1,
2 ses élément, on a :
1 × 1 = 1 , 2 × 1 = 2 , 3 × 1 = 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 0.
Théorème 1 :
Tout corps K non trivial de caractéristique nulle est infini.
Par contraposition, on peut énoncer :
Théorème 2 :
Tout corps fini est de caractéristique non nulle
Preuve : André Warusfel (» réf.1) :
! mais la réciproque est fausse :
En savoir un peu plus sur cette notion (caractéristique d'un anneau) : »
➔ Pour en savoir plus :
Corps finis par André Warusfel (Séminaire théorie
des nombres Delange-Pisot-Poitou), site Numdam :
http:/archive.numdam.org/article/SDPP_1967-1968__9_1_A9_0.pdf
Zermelo