ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss     (théorème fondamental de l'algèbre)

On se propose de prouver que :

Tout polynôme P d'une variable complexe z, de degré au moins égal à 1 admet au moins un zéro dans C.

Soit n le degré de P. Quitte à diviser par le coefficient de zⁿ, on peut supposer que ce coefficient est 1 sans restreindre la généralité. On pose alors P(z) =  zⁿ + a_n-1z^n-1 + ... + a₂z² + a₁z+ a_o.

Etape 1 :    

Soit |P| : C→R⁺, |P|(z) = |P(z)|, module de P(z). Il existe z_o∈C réalisant le minimum de |P| dans C.

Preuve : P(z)/zⁿ = 1 + a_n-1/z + ... + a₂/z^n-2 + a₁/z^n-1+ a_o/zⁿ = 1 + Q(z). Soit D le disque fermé de centre O de rayon R :  z∈D ⇔ |z| ≤ R. Si R est suffisamment grand, P étant au moins de degré 1, on peut être assuré d'avoir |Q(z)| ≤ 1/2 pour tout z de C privé de D. utilisant (» inégalité triangulaire) que |a + b| ≥ | |a| - |b| |, on en déduit que pour tout z extérieur à D :

  |P(z)/zⁿ| = |1 + Q(z)| ≥ |1 - |Q(z)|| ≥ 1/2 et, par conséquent : |P(z)| ≥ |zⁿ|/2

|P| ne peut donc atteindre un minimum que dans D. Or la fonction numérique |P| est continue dans D, fermé et borné (partie compacte). Par conséquent, elle y atteint ses bornes, en particulier son minimum m : il existe donc un z_o∈C tel que |P(z_o)| = m, et pour tout z de C, |P(z_o)| ≥ m.

Etape 2 :    

Afin d'établir le théorème, il s'agit maintenant de prouver que m = 0. Au voisinage de z_o, on peut écrire (formule de Taylor) :

P(z) = P(z_o) + (z - z_o)P'(z_o) + (z - z_o)²P''(z_o)/2! + (z - z_o)³P'''(z_o)/3! +... + (z - z_o)ⁿP⁽ⁿ⁾(z_o)/n!

Au moins une des dérivées en z_o est non nulle, sinon P est constant. En allégeant l'écriture, on peut alors écrire qu'il existe un entier naturel k, 1 ≤ k ≤ n, tel que :

P(z) = P(z_o) + λ_k(z - z_o)^k [1 + o(z - z_o)]              (» notations de Landau)

L'entier k est le plus petit ordre de dérivée non nulle en z_o.

Supposons que |P(z_o)| soit non nul et passons en notations polaires en posant P(z_o) = r_oe^ito, λ_k = ρe^iθ et z - z_o = re^it. Si nous montrons l'existence d'au moins un z tel que |P(z)| < |P(z_o)|, alors il y aura contradiction et par conséquent |P(z_o)| = 0. On obtient :

P(z) = r_oe^ito + ρe^iθ × r^ke^ikt [1 + o(z - z_o)] = r_oe^ito + ρr^k × e^{i(θ + kt)}[1 + o(z - z_o)]

Choisissons alors l'argument t de z - z_o à vérifier  θ + kt = t_o + π. Nous obtenons :

P(z) = e^ito (r_o - ρr^k) -  ρr^k × o(z - z_o)

En passant aux modules, o(z - z_o) devient un o(r) :

|P(z)| = | r_o - ρr^k | +  ρr^k × |o(r)|

Par suite, si r est suffisamment petit, ρr^k×|o(r)| devient négligeable et ρr^k << r_o .C'est dire que l'on aura |P(z)| < r_o = P(z_o). Ce qui est contradictoire.

  ➔    Autres preuves : Rouché , Liouville