ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Une preuve du théorème de d'Alembert
   
(théorème fondamental de l'algèbre)

On se propose de prouver que :

Tout polynôme P d'une variable complexe z, de degré au moins égal à 1
admet au moins un zéro dans C.

Soit n le degré de P. Quitte à diviser par le coefficient de zn, on peut supposer que ce coefficient est 1 sans restreindre la généralité. On pose alors P(z) =  zn + an-1zn-1 + ... + a2z2 + a1z+ ao.

Etape 1 :    

Soit |P| : CR+, |P|(z) = |P(z)|, module de P(z). Il existe zoC réalisant le minimum de |P| dans C.

Preuve : P(z)/zn = 1 + an-1/z + ... + a2/zn-2 + a1/zn-1+ ao/zn = 1 + Q(z). Soit D le disque fermé de centre O de rayon R :  zD |z| R. Si R est suffisamment grand, P étant au moins de degré 1, on peut être assuré d'avoir |Q(z)| 1/2 pour tout z de C privé de D. utilisant ( inégalité triangulaire) que |a + b| | |a| - |b| |, on en déduit que pour tout z extérieur à D :

  |P(z)/zn| = |1 + Q(z)| |1 - |Q(z)|| 1/2 et, par conséquent : |P(z)| |zn|/2

|P| ne peut donc atteindre un minimum que dans D. Or la fonction numérique |P| est continue dans D, fermé et borné (partie compacte). Par conséquent, elle y atteint ses bornes, en particulier son minimum m : il existe donc un zoC tel que |P(zo)| = m, et pour tout z de C, |P(zo)| m.

Etape 2 :    

Afin d'établir le théorème, il s'agit maintenant de prouver que m = 0. Au voisinage de zo, on peut écrire (formule de Taylor) :

P(z) = P(zo) + (z - zo)P'(zo) + (z - zo)2P''(zo)/2! + (z - zo)3P'''(zo)/3! +... + (z - zo)nP(n)(zo)/n!

Au moins une des dérivées en zo est non nulle, sinon P est constant. En allégeant l'écriture, on peut alors écrire qu'il existe un entier naturel k, 1 k n, tel que :

P(z) = P(zo) + λk(z - zo)k [1 + o(z - zo)]              ( notations de Landau)

L'entier k est le plus petit ordre de dérivée non nulle en zo.

Supposons que |P(zo)| soit non nul et passons en notations polaires en posant P(zo) = roeito, λk = ρe et z - zo = reit. Si nous montrons l'existence d'au moins un z tel que |P(z)| < |P(zo)|, alors il y aura contradiction et par conséquent |P(zo)| = 0. On obtient :

P(z) = roeito + ρerkeikt [1 + o(z - zo)] = roeito + ρrkei(θ + kt)[1 + o(z - zo)]

Choisissons alors l'argument t de z - zo à vérifier  θ + kt = to + π. Nous obtenons :

P(z) = eito (ro - ρrk) -  ρrko(z - zo)

En passant aux modules, o(z - zo) devient un o(r) :

|P(z)| = | ro - ρrk | +  ρrk|o(r)|

Par suite, si r est suffisamment petit, ρrk|o(r)| devient négligeable et ρrk << ro .C'est dire que l'on aura |P(z)| < ro = P(zo). Ce qui est contradictoire.


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