ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une série #1      niveau Sup                #2 , #3 , #4

On considère la série numérique définie sur N* par son terme général :

1°/ Montrer que la suite (u_n) tend vers 0. On s'aidera de la formule de Stirling.

2°/ On pose :

Prouver que la suite (v_n) converge vers e, base des logarithmes népériens.

3°/ Calculer la limite du rapport u_n+1/u_n. En déduire la convergence de la série Su_n.
       Noter que la convergence de la série Su_n entraine celle de la suite (u_n) vers 0.

1°/ Selon la formule de Stirling, on a, pour n infini :

Par suite :

Or l'exponentielle l'emporte sur la puissance : n/eⁿ tend vers 0. On peut vérifier facilement ce résultat obtenu en classe terminale en "passant" au logarithme, sachant que ln(n)/n tend vers 0. En conclusion u_n tend vers 0, condition nécessaire de convergence de la série des u_n.

2°/ On pose :

Pour n infini, on a ln v_n = n.ln(1 + 1/n) ~ n1/n = 1. Par suite ln v_n tend vers 1, donc v_n tend vers e.

Par conséquent u_n+1/u_n tend vers 1/e < 1. Le critère de d'Alembert permet de conclure à la convergence de la série.