ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une série #1      niveau Sup                 #2 , #3 , #4 , #5 , #6

On considère la série numérique définie sur N* par son terme général :

1°/ Montrer que la suite (un) tend vers 0. On s'aidera de la formule de Stirling.

2°/ On pose :

Prouver que la suite (vn) converge vers e, base des logarithmes népériens.

3°/ Calculer la limite du rapport un+1/un. En déduire la convergence de la série Σun. critères de convergence.
       Noter que la convergence de la série Σun entraine celle de la suite (un) vers 0.

Si vous séchez après avoir bien cherché : 


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Solution :

1°/ Selon la formule de Stirling, on a, pour n infini :

Par suite :

Or l'exponentielle l'emporte sur la puissance : n/en tend vers 0. On peut vérifier facilement ce résultat obtenu en classe terminale en "passant" au logarithme, sachant que ln(n)/n tend vers 0. En conclusion un tend vers 0, condition nécessaire de convergence de la série des un.

2°/ On pose :

Pour n infini, on a ln vn = n.ln(1 + 1/n) ~ n1/n = 1. Par suite ln vn tend vers 1, donc vn tend vers e.

Par conséquent un+1/un tend vers 1/e < 1. Le critère de d'Alembert permet de conclure à la convergence de la série.


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