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On considère la série numérique définie sur N* par son terme général :
1°/ Montrer que la suite (un) tend vers 0. On s'aidera de la formule de Stirling.
2°/ On pose :
Prouver que la suite (vn) converge vers e, base des logarithmes népériens.
3°/ Calculer la limite du rapport un+1/un.
En déduire la convergence de la série
Σun.
»
critères de convergence.
» Noter
que la convergence de la série
Σun entraine celle de la suite (un)
vers 0.
Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››
Solution : |
1°/ Selon la formule de Stirling, on a, pour n infini :
Par suite :
Or l'exponentielle l'emporte sur la puissance : √n/en tend vers 0. On peut vérifier facilement ce résultat obtenu en classe terminale en "passant" au logarithme, sachant que ln(n)/n tend vers 0. En conclusion un tend vers 0, condition nécessaire de convergence de la série des un.
2°/ On pose :
Pour n infini, on a ln vn = n.ln(1 + 1/n) ~ n × 1/n = 1. Par suite ln vn tend vers 1, donc vn tend vers e.
Par conséquent un+1/un tend vers 1/e < 1. Le critère de d'Alembert permet de conclure à la convergence de la série.