ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LIE Sophus Marius, norvégien, 1842-1899

Sophus Lie étudia les sciences et les mathématiques à l'université de Christiania (Oslo). Diplômé en 1865, Lie cherche sa voie en poursuivant des études d'astronomie et de mécanique rationnelle tout en donnant des cours particuliers. Ses lectures sur la géométrie nouvelle de Poncelet et Plücker lui ouvrent la voie.

A Paris, il rencontre Klein, Darboux et Jordan qui deviendront ses amis. Arrêté à Fontainebleau (1870) où on le soupçonne d'être un espion prussien, Lie est finalement relaxé et rentre à Christiania (1871). Il prépare alors sa thèse, Sur une classe de transformations géométriques, soutenue en 1872, et obtient une chaire à Christiania, puis à Leipzig (1886) où il succède à son Klein nommé à Göttingen.

Outre des travaux novateurs dans la théorie de l'intégration des équations aux dérivées partielles et en géométrie projective, on retient surtout de Lie ceux portant sur les structures algébriques nouvelles, principalement initiées par Jacobi et qu'il applique à ses recherches (dès 1869) sur les équations différentielles en constatant l'invariance de ces équations par certaines transformations continues et dont son ami Klein se servira pour la classification des diverses géométries : c'est la naissance du concept de groupe de transformations. Lie publiera la synthèse de ses travaux dans son traite Théorie des groupes de transformations (1888).

En particulier, les notions de groupe et d'algèbre de Lie où interviennent des propriétés analytiques (car initialement mises en place pour la classification d'équations aux dérivées partielles) apparaissent chez Lie dès 1873 et annoncent la nouvelle branche importante des mathématiques que sera la topologie.

Ces structures trouvent aujourd'hui des applications en physique moderne : mécanique quantique et théorie de la relativité. Les travaux de Lie seront principalement poursuivis par Elie Cartan.

Klein et les groupes de transformations :               Sylow

Groupe, anneau et corps topologiques, Groupe de Lie, Algèbre de Lie :

Le concept de  groupe de Lie n'est pas simple et dépasse largement le niveau de cette chronologie. Mais en schématisant à l'extrême, une telle structure possède non seulement celle d'un groupe algébrique usuel mais aussi des propriétés géométriques relevant plus précisément de la géométrie différentielle :

Groupe topologique, anneau et corps topologiques :    

On appelle ainsi un groupe (G,*) muni d'une topologie (au sens d'Hausdorff : définie par les ouverts) pour laquelle les applications (x,y) x*y et x x-1 sont continues. On parle de topologie compatible avec la structure de groupe.

  Dans le cas additif, il s'agira de la continuité de l'addition (x,y) x + y et du passage à l'opposé x -x et dans le cas multiplicatif de la multiplication (x,y) xy (souvent noté implicitement xy) et du passage à l'inverse x 1/x


Montrer que la continuité des deux applications (x,y)
x*y et x x-1 équivaut à celle de (x,y) x*y-1.
Dans le cas (R, +), il s'agira alors simplement de l'application (x,y)
x - y et dans le cas multiplicatif (R*, ) de l'application (x,y) x/y.

On qualifie de même de topologique, un anneau ou un corps (A, +,) pour lequel (A, +) est un groupe topologique dont la multiplication est également continue ainsi que le passage à l'inverse dans le cas d'un corps.

Groupe de Lie :    

On nomme ainsi une variété différentielle munie d'une structure de groupe topologique dans lequel les applications (x,y) x*y  et  x x-1 (où x-1 désigne le symétrique d'un élément x pour la loi *) sont analytiques.

L'étude des groupes de Lie se trouve facilitée par l'introduction de la structure d'algèbre de Lie : il s'agit d'une algèbre usuelle A dont la multiplication, souvent notée [ ], satisfait aux conditions complémentaires suivantes :

Exemple : R3 muni du produit vectoriel usuel (noté ) est une algèbre de Lie associée au groupe orthogonal O(R3), groupe de Lie des isométries vectorielles de l'espace. On écrirait alors x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0. Dans le cas d'une algèbre quelconque, la somme J(x,y,z) = [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] est le jacobien de A.

On remarquera qu'une algèbre de Lie est anticommutative car [x + y,x + y] = 0 pour tous x et y, entraîne par distributivité  [x,x] + [x,y] + [y,x] + [y,y] = 0, donc [y,x] = -[x,y].

Algèbre de Maltsev :

Ajoutons enfin que les groupes et algèbres de Lie apportèrent un outil fécond, tout particulièrement dans le cas non fini, dans le problème de la représentation linéaire de groupes topologiques : recherche d'un homomorphisme (continu) appliquant un groupe G sur le groupe GL(E) -ou un de ses sous-groupes- des transformations linéaires d'un espace vectoriel E.

  Groupes (généralités) , Topologie (notions) , 5è problème de Hilbert               Weyl , Langlands

 Pour en savoir plus :

  1. Dictionnaire des mathématiques : algèbre, analyse, géométrie (Encyclopaedia Universalis)
    Ch. Groupes, E - groupes & algèbres de Lie par Jean Dieudonné : pages 562 - 583. Éd. Albin Michel, Paris, 1997
  2. Nicolas Bourbaki : Éléments de mathématique, groupes et algèbres de Lie - Livre XXVI - Ed. Hermann - Paris.
  3. Introduction à la représentation des groupes de Lie : http://mathinfo.univ-reims.fr/IMG/pdf/cours_intro.pdf
  4. Géométrie différentielle élémentaire, par Frédéric Paulin, (univ. Paris-sud, ENS) :
    http://www.math.u-psud.fr/~paulin/notescours/cours_geodiff.pdf
    l'auteur aborde dans ce cours très complet les groupes de Lie complexes et les fibrés vectoriels
  5. Groupes et algèbres de Lie in : Espaces fibrés et connexions par Robert Coquereaux (univ. Marseille) :
    http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/EspacesFibresCoquereaux.pdf
  6. Groupes et algèbres de Lie, par josé-Marcos Carballo, École polytechnique de Lausanne :
    http://cqfd.epfl.ch/files/content/sites/cqfd/files/shared/projets/igat/Groupes de Lie - Marcos Carballo.pdf
  7. Groupes de Lie, représentations linéaires et applications, par Guy Pichon (université paris XIII).
    Ed. Hermann , Collection Méthodes- Paris - 1973


Darboux  de Longchamps
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