ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Division polynomiale par x - xo et application à la recherche d'une asymptote oblique       »  Cas général de la division polynomiale suivant les puissances croissantes ou décroissantes

Soit P un polynôme de la variable x à coefficients réels ou complexes. P(x) est de la forme :

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a_o

L'entier naturel n est le degré du polynôme. On notera d°P = n. On appelle racine ou zéro du polynôme P, un nombre réel ou complexe x_o tel que P(x_o) = 0.

Une racine est dite multiple, de multiplicité k (ou d'ordre k) pour exprimer qu'il existe un polynôme Q tel que pour tout x : P(x) = (x - x_o )^k × Q(x). Lorsque k = 2, 3 ou 4 on parle de racine double, triple, quadruple.

» Équation du : premier degré , second degré , troisième degré , quatrième degré

Rappelons ici trois importants résultats concernant les racines d'un polynôme :

Théorème 1 :    

x_o est racine de P si et seulement si P est divisible par x - xo.
En d'autres termes, si d°P = n, il existe un polynôme Q tel que, quel que soit x, P(x) = (x - x_o ) × Q(x) avec d°Q = d°P - 1.

Preuve : La condition est évidement suffisante. La condition est nécessaire car si P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a_o, on a 0 = a_nx_oⁿ + a_n-1x_o^n-1 + ... + a₂x_o² + a₁x_o + a_o. Par différence et compte tenu de l'identité remarquable xⁿ - x_oⁿ = (x - xo)(x^n-1 + x^n-2x_o +... + xx_ox^n-1 +  x_o^n-1), la condition est établie.     

» Eisenstein

Théorème 2 :  

P admet x_o comme racine multiple de multiplicité k si et seulement si
P(x_o) = 0 et x_o est un zéro d'ordre k - 1 pour le polynôme dérivé de P.  ☼

On peut aussi énoncer :

Théorème 3 :    

P admet x_o comme racine multiple de multiplicité k si et seulement si
P(xo) = 0 et les dérivées successives de P jusqu'à l'ordre k - 1 s'annulent en x_o.

• Exemple : Montrons que P(x) = x³ - 5x² - 8x + 48 admet x = 4 comme racine double. En déduire une factorisation de P. On a P'(x) = 3x² - 10x - 8, P''(x) = 6x - 10. P(4) = P'(4) = 0 mais P''(4) ≠ 0. On en déduit que P(x) = (x - 4)²Q(x) où le polynôme Q est de degré 1. Le coefficient de degré 3 dans P est 1, donc Q(x) est de la forme x + a. Mais le terme constant de P est 48, on en déduit 4² × a = 48, donc a =  3 et P(x) = (x - 4)²(x + 3).

Soit P un polynôme d'une variable réelle x. Si P(x_o) = 0, on a P(x) = (x - x_o ) × Q(x) avec d°Q = d°P - 1. Si P(x_o) est non nul, puisque x - x_o est de degré 1, le reste de la division est une constante r et l'on a P(x) = (x - x_o ) × Q(x) + r, par suite r = P(x_o).

Soit maintenant P un polynôme de degré n, noté symboliquement (a_n, a_n-1,..., a₂, a₁, a_o), c'est à dire vérifiant pour tout x réel :

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a_o.

Dans la division euclidienne de P par x - x_o, le quotient Q est de degré n - 1 et si nous écrivons :

A l'issue de la k-ème étape de la division, on a :

où Q_n-1 désigne le quotient partiel et R_k le reste dont le degré est au plus n - k car des monômes peuvent s'éliminer par combinaison linéaire, et correspondent aux cas où l'on rencontre un coefficient q_k nul, ce qui n'altère en rien l'algorithme. Le produit de q_n-1x^n-1 par x - x_o doit être retiré à l'expression P(x). Symboliquement, nous effectuons :

et nous recommençons notre division en travaillant sur (a_n-1 + x_oa_n, a_n-2, ..., a₁,a_o) : c'est dire que q_n-2 = a_n-1 + x_oa_n est le second coefficient de notre quotient, ce dernier terme jouant le rôle du a_n de départ.

On voit là l'algorithme d'une récurrence descendante pour le calcul des coefficients du quotient :

Partant de p = n - 1, on calcule les q_p de proche en proche en décrémentant p tant que p > 0 et en mettant dans la variable a_p la valeur a_p + x_o a_p+1. Si l'on pousse le calcul jusqu'à p = 0, on aura q_o = r, reste de la division euclidienne de P par Q.

Programme  JavaScript :    

Pour tester ce programme vous devrez entrer le degré n du polynôme P, puis x_o puis les coefficients a_i de P suivant les puissances décroissantes.

Exemples d'exécution : 

• P(x) = 2x³ - 7x + 1, divisé par x + 1; le programme répond :

C'est dire que : , ou encore : P(x) = (x + 1)(2x² - 2x - 5) + 6

• P(x) = x⁴ - 3x³ + 2x² - 8x + 6, divisé par x - 3; le programme répond :

Le reste est nul, c'est dire que 3 est un zéro de P et que P(x) = (x - 3)(x³ + 2x - 2).

Pour une fraction rationnelle f = A/B, quotient de deux polynômes, la méthode de Horner ci-dessus permettra d'exhiber l'équation de l'asymptote oblique de la courbe associée dans le cas où A est de d°2, B de d°1 et A non multiple de B. Mais on peut utiliser certains artifices élémentaires :

♦  Considérons, par exemple, la courbe définie par :

On peut écrire x² + 2x = (x + 1)² - 1, d'où :

Lorsque x tend vers ± ∞, y - (x + 1) tend vers 0 : la droite d'équation y = x + 1 est asymptote à la courbe.

Dans le cas plus général d'une fonction rationnelle f = A/B, avec d°A = d°B + 1. La division euclidienne de A par B suivant les puissances décroissantes permet de déterminer l'équation de l'asymptote, hors cas particulier de diviseurs communs à A et B et on peut limiter la division aux deux premiers termes du quotient.

♦ Considérons la courbe définie par :

La division euclidienne conduit à :

Ce qui signifie :

 ➔  Dans un tel cas, on procède également par la méthode des coefficients indéterminés basée sur la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles; x → x² + 1 étant irréductible, on écrit f(x) donnée sous la forme :

et il s'agit alors de déterminer a, b, c et d. Une réduction au même dénominateur conduit alors à identifier ax³ + bx² + (a + c)x + b + d au numérateur initial x³ + 2x² - x - 2. On est conduit au système : a = 1, b = 2, a + c = -1, b + d = - 2. D'où c = - 2 et d = - 4, ce qui confirme le résultat précédemment trouvé.

On fait ainsi apparaître l'asymptote oblique y = x + 2 car la partie fractionnaire est équivalente à 2/x pour x infini.

 i  On remarque que la courbe coupe son asymptote à distance finie; cela peut effectivement se produire : ci-dessous, la courbe rencontre la droite d'équation y = x + 2 au point de coordonnées (-2;0). D'une façon générale, l'existence de tels points se détermine en résolvant l'équation f(x) = d(x), où d est la fonction binôme, équation de l'asymptote.

 ➔  Pour terminer, revenons à f = A/B avec d°A = d°B + 1 en remarquant que l'équation de l'asymptote oblique ne dépend que des deux premiers coefficients des puissances les plus élevées de A et B; posons A(x) = axⁿ + bx^n-1 + ... et B(x) = αx^n-1 + βx^n-2 + ... et effectuons la division euclidienne de A par B :

L'équation de l'asymptote oblique est donc :

et on peut même se payer le luxe d'un petit programme élémentaire que l'on pourra améliorer pour obtenir, le cas échéant, des résultats fractionnaires irréductibles (voir pgcd ou division polynomiale). Les coefficients demandés sont a_n et a_n-1 pour A et b_n-1 et b_n-2 pour B avec d°A = n et évidemment d°B = n - 1.