ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Division polynomiale par x - xo          Aller au programme | voir le listing              
        Cas général de la division suivant les puissances croissantes ou décroissantes | cas d'une asymptote oblique

Soit P un polynôme de la variable x à coefficients réels ou complexes. P(x) est de la forme :

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + ao

L'entier naturel n est le degré du polynôme. On notera d°P = n. On appelle racine ou zéro du polynôme P, un nombre réel ou complexe xo tel que P(xo) = 0.

Rappelons ici trois importants résultats concernant les racines d'un polynôme :

Théorème 1 :    

xo est racine de P si et seulement si P est divisible par x - xo.
En d'autres termes, si d°P = n, il existe un polynôme Q tel que, quel que soit x, P(x) = (x -
xo )Q(x) avec d°Q = d°P - 1.

Preuve : La condition est évidement suffisante. La condition est nécessaire car si P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + ao, on a 0 = anxon + an-1xon-1 + ... + a2xo2 + a1xo + ao. Par différence et compte tenu de l'identité remarquable xn - xon = (x - xo)(xn-1 + xn-2xo +... + xxoxn-1xon-1), la condition est établie.

Une racine est dite multiple, de multiplicité k (ou d'ordre k) pour exprimer qu'il existe un polynôme Q tel que pour tout x : P(x) = (x - xo )kQ(x). Lorsque k = 2, 3 ou 4 on parle de racine double, triple, quadruple.

  Équation du : premier degré , second degré , troisième degré , quatrième degré     

Eisenstein

Théorème 2 :  

P admet xo comme racine multiple de multiplicité k si et seulement si
P(
xo) = 0 et xo est un zéro d'ordre k - 1 pour le polynôme dérivé de P

On peut aussi énoncer :

Théorème 3 :    

P admet xo comme racine multiple de multiplicité k si et seulement si
P(xo) = 0 et les
dérivées successives de P jusqu'à l'ordre k - 1 s'annulent en xo.

Étude d'un algorithme JavaScript pour la division d'un polynôme par x - xo :

Soit P un polynôme d'une variable réelle x. Si P(xo) = 0, on a P(x) = (x - xo )Q(x) avec d°Q = d°P - 1. Si P(xo) est non nul, puisque x - xo est de degré 1, le reste de la division est une constante r et l'on a P(x) = (x - xo )Q(x) + r, par suite r = P(xo).

Notons maintenant P un polynôme de degré n, noté symboliquement (an, an-1,..., a2, a1, ao), c'est à dire vérifiant pour tout x réel :

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + ao.

Dans la division euclidienne de P par x - xo, le quotient Q est de degré n - 1 et si nous écrivons :

Q = (0, qn-1,..., q2, q1, qo), on a : qn-1 = an

A l'issue de la k-ème étape de la division, on a :

P(x) = (x - xo)Qn-1(x) + Rk

où Qn-1 désigne le quotient partiel et Rk le reste dont le degré est au plus n - k. Au plus, car des monômes peuvent s'éliminer par combinaison linéaire, et correspondent aux cas où l'on rencontre un coefficient qk nul, ce qui n'altère en rien l'algorithme. Le produit de qn-1xn-1 par x - xo doit être retiré à l'expression P(x). Symboliquement, nous effectuons :

(an, an-1,..., a2, a1, ao) - (an, - xoan , an-2 , ..., a1, ao)

et nous recommençons notre division en travaillant sur (an-1 + xoan, an-2, ..., a1,ao) : c'est dire que qn-2 = an-1 + xoan est le second coefficient de notre quotient, ce dernier terme jouant le rôle du an de départ.

On voit là l'algorithme d'une récurrence descendante pour le calcul des coefficients du quotient :

ap ap + xoap+1   ,  qp-1 ap

Partant de p = n - 1, on calcule les qp de proche en proche en décrémentant p tant que p > 0 et en mettant dans la variable ap la valeur ap + xo ap+1. Si l'on pousse le calcul jusqu'à p = 0, on aura qo = r, reste de la division euclidienne de P par Q.

Programme  JavaScript :    

Pour tester ce programme vous devrez entrer le degré n du polynôme, puis xo puis les coefficients ai suivant les puissances décroissantes.


                

Exemples d'exécution : 

Application à la recherche d'une asymptote oblique                cas général

Le terme asymptote provient du grec asymptôtos : formé sur a (privatif) sun (avec) et piptein (tomber), soit "qui tombe avec mais sans toucher". Cette notion est connue des lycéens dès la classe de seconde avec l'étude de l'hyperbole équilatère et la mise en évidence de ses asymptotes "horizontale" et "verticale".

  Notons au passage que Victor Hugo écrivit à propos de la Science dans William Shakespeare (1864), Livre III : « La science est l'asymptote de la vérité. Elle approche sans cesse, et ne touche jamais. » Pas mal, non ?... J'aime bien aussi : « La science cherche le mouvement perpétuel. Elle l'a trouvé : c'est elle-même. »

Pour une fraction rationnelle, lorsque P est de degré 2 et Q de degré 1 et P non multiple de Q, la méthode ci-dessus permet d'exhiber l'équation de l'asymptote oblique de la courbe associée à la fonction x f(x) = P(x)/Q(x). Un exemple de courbe :

Dans ce cas , la division euclidienne de x3 + 2x2 - x - 2 par x2 + 1 fournit :

faisant apparaître l'asymptote oblique y = x + 2 pour x infini. On remarque, et c'est important, que la courbe peut couper son asymptote à distance finie : ci-dessus, la courbe rencontre la droite d'équation y = x + 2 au point de coordonnées (-2;0). D'une façon générale, ces points se déterminent en résolvant l'équation f(x) = d(x), où d est la fonction binôme, équation de l'asymptote.

 Au lycée, on procède par la méthode des coefficients à déterminer, on entend par là une écriture de f(x) donnée sous la forme  y = ax + b + (cx+d)/(x2 + 1) où il s'agit de déterminer a, b, c et d. Une réduction au même dénominateur conduit alors à identifier ax3 + bx2 + (a + c)x + b + d au numérateur x3 + 2x2 -x - 2. On est conduit au système : a = 1, b = 2, a + c = -1, b + d = - 2. D'où c = - 2 et d = -4, ce qui confirme le résultat précédemment trouvé.

Étude d'une fonction rationnelle et approche d'une asymptote oblique (niveau Ter) :

Dans le cas général d'une fonction rationnelle f = P/Q, une telle courbe admet une asymptote oblique si d°P = d°Q + 1. La division euclidienne de P par Q suivant les puissances décroissantes permet de déterminer l'équation. On peut remarquer que cette équation ne dépend que des deux premiers coefficients des puissances les plus élevées de P et Q :

Si P(x) = axn + bxn-1 + ... et Q(x) = αxn-1 + βxn-2 + ..., alors l'équation de l'asymptote oblique est y = Ax + B, avec :

et on peut même se payer le luxe d'un petit programme élémentaire que l'on pourra améliorer pour obtenir, le cas échéant, des résultats fractionnaires irréductibles (voir pgcd). Les coefficients demandés sont des ai pour les xi de P et des bi pour ceux de Q avec d°P = n et évidemment d°Q = n - 1.

                         

Compléments  : 

a/ cas général pour une courbe définie par une équation cartésienne y = f(x)

Dans le cas général d'une courbe définie par une équation cartésienne y = f(x), si l'on soupçonne au voisinage d'un point (fini ou non) l'existence d'une asymptote oblique y = Ax + B, la condition nécessaire est que la limite de f(x) soit infinie.

  on recherchera A comme limite à l'infini (positif ou négatif) de f(x)/x.
       si la limite de f(x)/x n'existe pas, on parle simplement de
branche infinie;
       si la limite de f(x)/x est infinie, on parle de
branche parabolique de direction Oy;

  si la limite de f(x)/x est un nombre fini A, on recherche B comme limite finie de f(x) - Ax.
      si la limite de f(x) - Ax n'existe pas, on dit que la courbe possède une branche infinie
       de
direction asymptotique y = Ax.
      si la limite de f(x) - Ax est infinie, on parle de
branche parabolique dans la direction y = Ax
      si la limite de f(x) - Ax est un nombre B fini, la courbe admet la droite d'équation y = Ax + B
       au voisinage du point considéré.

  

b/ cas général pour une courbe définie par une équation paramétrique x = f(t), y = g(t)

Ce cas se traite de façon similaire : si, au voisinage d'une valeur to du paramètre t, x = f(t) et y = g(t) admettent des limites infinies, on calcule la limite en to de y/x = g(t)/f(t). Il s'agit donc de la recherche de A. Si A existe et est fini, on calcule la limite de y - Ax. Les conclusions sont les mêmes. 

c/ cas général pour une courbe définie par une équation polaire r = f(t) :   cas polaire


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