ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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REGIOMONTANUS, allemand, 1436-1476       exercices

Astronome et mathématicien. De son vrai nom Johann Müller (il emprunta ce nom latin à celui de sa ville natale, Königsberg : la montagne du roi). Il enseigna l'astronomie et les mathématiques à Padoue (Padova, Italie). De retour en Allemagne, Regiomontanus s'installa à Nuremberg (Nürnberg, ville natale de Alfred Dürer) où il fit construire un observatoire.

Représentatif de l'école allemande de la Renaissance, on peut le considérer, en Europe, à la suite des résultats novateurs développés par les mathématiciens arabes comme Al-Battani et At-Tusi et comme le père de la trigonométrie moderne qu'il développa comme une branche des mathématiques indépendante de l'astronomie : "De triangulis planis et spherici libri quinque, una cum tabulis sinuum" où il s'étend tout particulièrement sur la résolution des triangles plans et sphériques et les tables de sinus. Ce traité, développé à partir de 1464, ne sera publié que bien plus tard après sa mort, en 1561.

1561 : année de naissance du mathématicien et astronome allemand Barthélemy Pitiscus (1561-1613) qui fut aumonier et précepteur, à Heidelberg, de Frédéric IV le juste (électeur palatin du Saint Empire germanique) et à qui l'on doit le plus important traité de trigonométrie jamais écrit jusqu'alors où il introduit pour la première fois le mot trigonométrie (mot à mot : mesure des trois angles, sous-entendant d'un triangle) in : Trigonometriae libri quinque, item problematum variorum libri decem (1595) : Cinq livres de trigonométrie ainsi que dix livres de problèmes variés.

Résoudre un triangle, c'est déterminer la mesure de ses angles et de ses côtés à partir de (généralement) 3 données. Par opposition à la trigonométrie sur la sphère, dite trigonométrie sphérique, la trigonométrie usuelle, celle du triangle dans le plan, fut dénommée rectiligne, qualificatif utilisé par d'Alembert. Sans oublier la trigonométrie hyperbolique de V. Riccati et Lambert.

  Résolution de triangles

Introduction du cercle trigonométrique et de notre sinus actuel :

On doit à Regiomontanus l'usage systématique du terme sinus relatif à un angle géométrique, terme dérivant du sanscrit et de l'arabe, pour signifier demi-corde, initiée par l'indien Aryabahta, et que les copistes du Moyen Âge ont traduit par sinus correspondant à pli en latin.

Dans un triangle rectangle ABC, d'hypoténuse [BC], le sinus d'un angle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :

sin ^B = AC / BC et sin ^C = AB / BC

En vertu du théorème de Thalès, ces rapports ne dépendent que de la mesure des angles et non de celle des côtés.

La fonction sinus :

Pour un angle â du quart de cercle de droite (ci-dessous), le sinus est HB si le rayon est 1 et ce sinus correspond à la demi-corde de l'angle qu'intercepterait, par symétrie, l'angle 2â. On remarquera que considérer BH comme le sinus de l'angle â, au lieu de de la corde AB à la façon des anciens comme Ptolémée revient à prendre la moitié de la corde de l'angle double.

Prendre la demi-corde de l'angle double 2â ce n'est pas prendre la corde de l'angle â...

                 BHBA !!

Ptolémée et les demi-cordes :

Se dégageant du système sexagésimal de Ptolémée, Regiomontanus définit le sinus d'un angle dans un cercle de rayon unité. Plus tard, Viète, Neper , Leibniz et Euler compléteront l'édifice avec l'aspect fonctionnel et l'apport des logarithmes.

Représentation graphique de la fonction sinus :

Effectivement ondulée, en plis, parler de sinusoïde est ici anachronique... elle ne fut étudiée qu'au 17ème siècle par Roberval, puis par Leibniz et Newton. Son appellation (1725) est due à Belidor, ratifiée par d'Alembert dans sa célèbre Encyclopédie.

Étude des fonctions sinus & cosinus :            Werner :

Quelques exercices niveau collège/lycée

Calcul d'un angle     système non linéaire - sinus - théorème de Pythagore       

Charpente métallique     usage de la tangente d'un angle

Abri à bicyclettes      usage du sinus d'un angle

Résolution d'un triangle     usage de la  formule des sinus

Ligne d'horizon    radians & trigonométrie

Piges     contrôle de cotes

Rues Pierre & Ponce...    partage d'un terrain

Système trigonométrique   (x + y = 2π/3  ,  cosx + cosy = - 1)

Périmètre maximum      formule de transformation de sommes en produits

Triangle égyptien    cosinus d'un angle
Aire d'une lunule   sinus, aire d'un secteur circulaire, aire du losange
Une application des angles inscrits  a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R


Al-Qalasadi  Chuquet
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