ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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REGIOMONTANUS, allemand, 1436-1476       » exercices

De son vrai nom Johann Müller (il emprunta ce nom latin à celui de sa ville natale, Königsberg : la montagne du roi). A l'université de Vienne où il étudia dès l'âge de 14 ans, un de ses professeurs, Georg de Peuerbach (parfois orthographié Purbach, 1423-1461), astronome et mathématicien, orienta sa carrière. Regiomontanus enseigna l'astronomie et les mathématiques à Padoue (Padova, Italie). De retour en Allemagne, il s'installa à Nuremberg (Nürnberg, ville natale d'Alfred Dürer) où il fit construire un observatoire. Peu avant sa mort prématurée (39 ans), Peuerbach confiera à Regiomontanus le soin de poursuivre ses travaux.

 i  Georg von Peuerbach (1423-1462) naquit à Peuerbach (Autriche), d'où son nom d'usage, la particule "von" ("de") n'indiquant nullement une origine nobiliaire. Il entreprend des études à Vienne et obtient  le titre de magister ès arts (habilitation au professorat selon un cursus hérité de la Grèce antique comprenant grammaire, dialectique, arithmétique & géométrie, astronomie). Voyageant en Europe, sa rencontre avec Nicolas de Cuse et Giovanni Bianchini (1410-1469, astronome à Ferrare) en Italie déterminèrent sa carrière d'astronome. Outre l'édition de tables trigonométriques tant volumineuses que précises, Peuerbach s'attacha à affiner le modèle de notre système planétaire selon Ptolémée, l'Almageste, établi depuis 1300 ans, en s'appuyant en particulier sur l'analyse de l'astronome arabe Al-Bitruji :

 i  Nur Ed-Din ibn Ishaq Al Bitruji (vers 1130-1190) fut un astronome arabe originaire du Maroc connu en Occident sous le nom d'Alpetragius; originaire du Maroc, il vécut à Séville. Adepte de la pensée de Ptolémée, il avance une toute nouvelle hypothèse cinétique des orbites planétaires selon laquelle on doit ajouter une 9ème sphère au système planétaire déjà fort complexe du célèbre astronome grec, censée communiquer une énergie motrice à l'ensemble des sphères inférieures (» réf.3).

»  Eudoxe , Aristarque de Samos , Hipparque de Nicée , Ptolémée , Galilée , Copernic , Kepler

à la suite des résultats novateurs développés par les mathématiciens et astronomes arabes comme Al-Battani, Al-Biruni, At-Tusi, Al-Bitruji (évoqué ci-dessus), Regiomontanus, représentatif de l'école allemande de la Renaissance, est considéré en Europe comme le père de la trigonométrie moderne (néologisme dû à Pitiscus) qu'il développa comme une branche des mathématiques indépendante de l'astronomie dans son traité De triangulis planis et spherici libri quinque, una cum tabulis sinuum où il s'étend tout particulièrement sur la résolution des triangles plans et sphériques et les tables de sinus complétant les travaux de son maître. Son œuvre, développé à partir de 1464, ne sera publié que près d'un siècle après sa mort, en 1561.

 ➔  Rappelons que résoudre un triangle, c'est déterminer la mesure de ses angles et de ses côtés à partir, généralement, de trois données. Par opposition à la trigonométrie sur la sphère, dite trigonométrie sphérique, la trigonométrie usuelle, celle du triangle dans le plan, fut dénommée rectiligne, qualificatif utilisé par d'Alembert. Sans oublier la trigonométrie hyperbolique de V. Riccati et Lambert.

»  Pitiscus            ∗∗∗  La fonction sinus ,  Résolution de triangles

Introduction du cercle trigonométrique et de notre sinus actuel :

On doit à Regiomontanus l'usage systématique du terme sinus relatif à un angle géométrique, terme dérivant du sanscrit et de l'arabe, pour signifier demi-corde, initiée par l'indien Aryabahta, et que les copistes du Moyen Âge ont traduit par sinus correspondant à pli en latin. Dans un triangle rectangle ABC, d'hypoténuse [BC], le sinus d'un angle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :

En vertu du théorème de Thalès, ces rapports ne dépendent que de la mesure des angles et non de celle des côtés.

Pour un angle â du quart de cercle de droite (ci-dessous), le sinus est HB si le rayon est 1 et ce sinus correspond à la demi-corde de l'angle qu'intercepterait, par symétrie, l'angle 2â. On remarquera que considérer BH comme le sinus de l'angle â, au lieu de de la corde AB à la façon des anciens comme Ptolémée, revient à prendre la moitié de la corde de l'angle double.

Se dégageant du système sexagésimal de Ptolémée, Regiomontanus définit le sinus d'un angle dans un cercle de rayon unité. Ses travaux seront brillamment complétés un siècle plus tard par son compatriote Pitiscus ainsi que par Viète (en France). Neper, Leibniz et Euler compléteront l'édifice avec l'aspect fonctionnel et l'apport des logarithmes.

Représentation graphique de la fonction sinus :   

Effectivement ondulée, en plis, parler de sinusoïde est ici anachronique... elle ne fut étudiée qu'au 17ème siècle par Roberval, puis par Leibniz et Newton. Son appellation (1725) est due à Belidor, ratifiée par d'Alembert dans sa célèbre Encyclopédie.

Étude des fonctions sinus & cosinus : »            » Werner :  

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Quelques exercices niveau collège/lycée - Voir aussi  l'index collège-lycée

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Al-Qalasadi  Chuquet

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