ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Résolution d'une équation diophantienne

Voici une équation proposée par Diophante d'alexandrie :

Chercher deux nombres dont la différence des cubes
est égale à leur différence.

Si x et y sont les nombres cherchés, le problème revient à résoudre, en nombres entiers, l'équation :

x3 - y3 = x - y

En utilisant l'identité  bien connue :

x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2)

on se ramène, en éliminant la solution triviale x = y, à

x2 + xy + y2 = 1

Recherchons x et y sous la forme fractionnaire x = a/d et y=b/d. Il vient alors, en remplaçant :

a2 + ab + b2 = d2

On peut supposer a > b et poser a = u + v et b = u - v, ce qui conduit à éliminer le terme non carré ab :

3u2 + v2 = d2

Proposons cette énigme à l'ordinateur : une fois n'est pas coutume, l'objectif étant de faire simple et efficace sans se torturer le cerveau pour faire beau et efficace.

A l'instar de Diophante, le but est de trouver au moins une solution et tous les coups sont permis : l'informatique, à notre époque, en particulier...

  x = 5/7, y = 3/7 est trouvé immédiatement.

Calcul d'un PGCD :



<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function dioph()
{
for(u=2;u<=100;u++)
{
for(v=1;v<= u -1;v++)
{
d=Math.sqrt(3*u*u+v*v);
if(d==Math.floor(d))
{
a=u+v;b=u-v;
if(!confirm("x = "+a+"/"+d+"\n"+"y = "+b+"/"+d))return
}
}}}
</SCRIPT>


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