ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

ROTH Klaus Friedrich, anglais, 1925-2015         Médaille Fields 1958

D'origine allemande (né à Breslau, ancienne ville de Prusse, rendue à la Pologne en 1945 sous le nom de Wroclaw), Roth fait ses études en Angleterre à l'université de Cambridge et obtient son doctorat en 1950 à l'université de Londres sous la direction de Theodor Estermann.

 Theodor Estermann (1902-1991), mathématicien allemand, spécialiste en théorie des nombres, qui étudia à Hamburg sous la direction de Rademacher. En 1926, l'année suivant l'obtention de son doctorat, il s'installa à Londres.

Dès la fin de la seconde guerre mondiale, il enseigna à Londres, en la prestigieuse University Collège avant d'être nommé professeur à l'Imperial College, poste qu'il occupa jusqu'à sa retraite en 1988. Il continua cependant ses recherches à l'University Collège jusqu'en 1996.

Ses travaux portèrent exclusivement sur la théorie des nombres. Outre de nombreuses distinctions, Roth obtint une des deux médailles Fields 1958 (la seconde fut attribuée à René Thom) pour ses résultats sur les approximations rationnelles de nombres algébriques irrationnels. Il fut élu membre de la Royal Society en 1960.

 Breslau est aussi la ville natale du mathématicien et philosophe influent Christian Wolf, contemporain de Leibniz.

Les premiers travaux sur les approximations rationnelles remontent aux confins de la recherche mathématique avec la théorie des proportions de Eudoxe (vers 350 avant J.-C.) complétée par Euclide et les travaux arithmétiques de Diophante, vers 350 après J.-C.

Le théorème de Roth (1955) :

Le noyau de ces recherches fut l'approche au moyen d'un développement en fraction continue tout en cherchant à  déterminer le niveau de précision. Pour un nombre x irrationnel, approché par la fraction an/bn, Legendre montra la formule :

            développement en fraction continue , Hurwitz

Rappelons que dans le cas d'un nombre algébrique x irrationnel de degré n, Liouville montra qu'il existe une constante k (ne dépendant que de x) pour laquelle :

pour tout rationnel a/b. Dans le cadre de ses travaux sur la finitude du nombre de solutions d'un certain type d'équations diophantiennes, comme x3 - 2y3 = 1, Thue en donna une forme plus fine (1909) que l'on peut ainsi formuler :

Si x est algébrique de degré n, et m > 1 + n/2, il existe un nombre fini de rationnels a/b pour lesquels :

D'autres mathématiciens tentèrent de mieux cerner la borne inférieure des valeurs de m : comme Siegel qui l'évalua à 2n.

Mais c'est Roth, un demi-siècle plus tard (1955), qui montra finalement que l'on peut "tout simplement" choisir m > 2 : borne inférieure des m, eu égard à la formule de Legendre ci-dessus.

Quant à la constante k(x), il fut prouvé par le mathématicien russe Naum Ilich Feldman (1971) qu'elle est inférieure à 1, complétant des travaux de Baker sur la question

Équations de Pell :

Preuve d'une conjecture d'Erdös et Turan apportée par Roth :

Soit (xn) une suite d'entiers naturels possédant la propriété suivante :

Il n'existe aucune paire d'éléments de cette suite dont la somme soit égale à un troisième.

Alors si N(x) désigne le nombre d'éléments de la suite inférieurs à x, la limite pour x infini de N(x)/x est nulle.

  Paul Turan (1910-1976), mathématicien hongrois, professeur à l'université de Budapest. Travaux en théorie des nombres en collaboration avec son compatriote Erdös.

 Pour en savoir plus : 


Malliavin  Tate
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