ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Parabole cubique    fonction racine cubique | parabole semi-cubique | Parabole (courbe algébrique de degré 2)

On nomme ainsi une courbe plane dont l'équation cartésienne peut se ramener à la forme :

y = ax3 + bx2 + cx + d , a non nul

C'est donc une cubique : courbe algébrique de degré 3.

Dans le cas général, la fonction dérivée y' étant un polynôme de degré 2, cette dernière admet au plus deux zéros.


A quelle condition sur ses coefficients, la parabole cubique x f(x) = x3 + αx2 + βx + γ établit-elle une bijection de R sur R ?
Indic. : f est clairement surjective car équivalente pour x infini à son monôme de plus haut degré. On vérifiera que si ne s'annule pas,
elle garde un signe constant et f est strictement croissante : la condition
α2 < 3β est ainsi suffisante. Est-elle nécessaire ? Rép. : oui.
On chercher à résoudre négativement f(x) = f(z), x ≠ z sous la condition
α2 < 3β.


  Ci-dessous la cubique y = x3 et sa fonction réciproque, la racine cubique y = x = x1/3 courbes symétriques par rapport à [y = x]. La tangente en 0 de la cubique, à savoir [y = 0] s'échange en [x = 0] pour la racine cubique, ce qui est correspond à une limite infinie en 0 de sa fonction dérivée : y' = 1/3x2/3.

Racine n-ème et exposants factionnaires :


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