ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Parabole cubique    » fonction racine cubique | parabole semi-cubique | Parabole (courbe algébrique de degré 2)

On nomme ainsi une courbe plane dont l'équation cartésienne peut se ramener à la forme :

C'est donc une cubique : courbe algébrique de degré 3.

Dans le cas général, la fonction dérivée y' étant un polynôme de degré 2, cette dernière admet au plus deux zéros.

• en bleu : y = 1 + x + x² + x³ (y' n'a pas de zéros);
• en rose : la forme la plus élémentaire y = x³ (y' possède un zéro double), fonction impaire;
• en vert : y = (x + 2)(x - 1/2)(x - 3/2)/6 = x³ -13x/24 + 1/4 (y' admet deux zéros).

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A quelle condition sur ses coefficients, la parabole cubique x → f(x) = x³ + αx² + βx + γ établit-elle une bijection de R sur R ?
Indic. : f est clairement surjective car équivalente pour x infini à son monôme de plus haut degré. On vérifiera que si f ' ne s'annule pas,
elle garde un signe constant et f est strictement croissante : la condition α² < 3β est ainsi suffisante. Est-elle nécessaire ? Rép. : oui.
On chercher à résoudre négativement f(x) = f(z), x ≠ z sous la condition α² < 3β.

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 ➔    Ci-dessous la cubique y = x³ et sa fonction réciproque, la racine cubique y = ³_√x = x^1/3 courbes symétriques par rapport à [y = x]. La tangente en 0 de la cubique, à savoir [y = 0] s'échange en [x = 0] pour la racine cubique, ce qui est correspond à une limite infinie en 0 de sa fonction dérivée  (strictement positive en tout x non nul), pouvant s'écrire sous plusieurs formes :