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Méthode des trapèzes             Accéder au programme en ligne , Autres méthodes

La méthode d'intégration approchée, dite des trapèzes, décrite ci-après, introduite par Newton & Cotes est plus précise que la méthode élémentaire, dite des rectangles, correspondant aux sommes de Riemann consistant à remplacer la fonction initiale par une approximation en escalier : sur l'intervalle [x_i, x_i+1], on remplace l'arc de courbe par le segment [M_iN_i+1], donc l'aire sous la courbe, par le rectangle « x_i M_i N_i+1 x_i+1 ».

La méthode des trapèzes étudiée ci-après remplace l'arc de courbe par le segment [M_iM_i+1], donc l'aire sous la courbe, par le trapèze colorié en rose « x_i M_i M_i+1 x_i+1 ».

Il est important de remarquer que si f est monotone (i.e. croissante ou bien décroissante) sur [a,b], l'approximation J obtenue par la méthode des trapèzes n'est autre que la moyenne arithmétique des aires des rectangles encadrant l'intégrale cherchée, à savoir :

   exercice d'application

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a,b] dont on veut calculer l'intégrale :

     (intégrale au sens de Riemann)

Si nous choisissons une subdivision régulière de l'intervalle [a,b] en n sous-intervalles [x_i,x_i+1] avec i variant de o à n :

on a x_i+1 - x_i = (b - a)/n. La somme des aires colorées en jaune pointé représente une approximation J de l'intégrale I. Chaque aire est celle d'un trapèze de hauteur x_i+1 - x_i, de bases respectives f(x_i) et f(x_i+1). Par suite :

 

Évaluons un majorant de l'erreur commise par ce procédé (et représentée concrètement en bleu-vert sur le schéma ci-dessus) : supposons f de classe C² sur l'intervalle [a,b] : f est dérivable jusqu'à l'ordre 2 au moins et ses dérivées f ' et f " sont continues. Posons h = (b - a)/n. L'erreur e_i(h) sur [x_i, x_i+1] = [x_i,x_i + h] est, selon la formule de l'aire d'un trapèze :

En utilisant la 1ère formule de Maclaurin, on obtient immédiatement :

Il s'agit maintenant de faire la somme des erreurs pour i variant de 0 à n-1 : notons M le maximum de |f ''(x)| sur [a,b] : la valeur absolue de l'erreur commise est majorée par e = nM x h³/12, c'est à dire :

On voit que cette erreur est en 1/n² : si on multiplie par 10 le nombre de points de la subdivision, l'erreur est, en théorie, divisée par 100. La méthode des trapèzes est donc plus précise que la méthode élémentaire des rectangles, dont on montre facilement, que l'erreur est en 1/n, plus précisément inférieure à :

 

En effet, l'erreur sur [x_i, x_i + h] est ici :

Si f est au moins de classe C¹ (continûment dérivable), le développement de Taylor avec reste de Lagrange de f(x) est au voisinage de x = x_i est f(x) = f(x_i) + (x - x_i)f '(u_i) , u_i [x_i, x_i + h]. Dans l'intégrale, poser t = x - x_i. On intègre alors de 0 à h et e_i(h) = ½h²f '(u_i). Mais h = (b - a)/n. Il n'y a plus qu'à sommer et majorer.

Autres méthodes :