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Méthode de Simpson             @ programme en ligne , majoration de l'erreur     »  méthode de Simpson dite des 3/8 , autres méthodes

Le défaut évident du calcul approché d'une intégrale par la méthode des trapèzes (et a fortiori par celle, élémentaire, des rectangles) est de remplacer grossièrement un arc de courbe M_iM_i+1 par le segment [M_iM_i+1]. Ces méthodes fort simples à programmer restent cependant très imprécises. Simpson apporte une correction très efficace correspondant à la méthode de Newton-Cotes (interpolation de degré 2) :

Étude :   

Soit f une fonction continue sur [a,b], il s'agit d'approcher l'intégrale :

La méthode de Simpson consiste à grouper trois points consécutifs de la courbe M_i, M_i+1 et M_i+2 et de remplacer l'arc de courbe passant par ces trois points par un arc de parabole. Notons que si les points M_i, M_i+1 et M_i+2 sont alignés, le calcul des paramètres de la parabole d'équation y = mx² + px + q, passant par ces points conduira à m = 0. Par suite, quitte à parler de parabole dégénérée, ce cas n'est pas singulier.

L'arc de courbe (C) est remplacé par l'arc de parabole (P) passant par ces trois points. Si le nombre de points de la subdivision est grand, on conçoit que la mesure de l'aire coloriée en jaune est très faible : l'arc (C) coïncide "pratiquement" avec (P).

Notons M_i(x_i,y_i), i = 1,2 ou 3, trois points consécutifs de la courbe représentative de la fonction f. Les paramètres m, p et q de la parabole cherchée sont solutions du système :

h désignant le pas x₃ - x₂ = x₂ - x₁ = (b - a)/2 de la subdivision, l'intégrale de la fonction mx² + px + q entre x₁ et x₃ peut s'écrire :

Compte tenu du système ci-dessus, que l'on ne résout surtout pas, on fait apparaître y₁ + y₃ dans le crochet et en remarquant que x₁ = x₂ - h et x₃ = x₂ + h, on obtient :

Ce qui peut s'écrire plus élégamment, x₁ = a,  x₂ = (a + b)/2 et x₃ =b :

 ➔  Pour une intégration sur un intervalle [a,b], on regroupe trois par trois les points d'une subdivision x_o = a, x₁, x₂, ..., x_n  = b :

(x_o, x₁, x₂) , (x₂, x₃, x₄) , (x₄, x₅, x₆) , ..., (x_n-2, x_n-1, x_n)

et on remarque que le nombre n doit être pair.

En utilisant la relation de Chasles pour les intégrales, on obtient, avec h = (b - a)/n, la formule d'approximation de Simpson :

 
 

est exacte pour les polynômes de d° ≤ 2. On vérifiera qu'elle est aussi exacte pour les polynômes de degré 3 en testant la formule J = (y₁+ 4y₂ + y₃) × h/3 sur le monôme f(x) = x³. Pour cette raison, on appelle parfois la formule de Simpson : formule des trois niveaux.

On suppose ici que f est au moins de classe C⁴. Sur un intervalle [x_i - h,x_i + h], subdivision de 3 points x_i - h, x_i, x_i + h, l'erreur commise par l'approximation de Simpson est :

Développons le second membre à l'ordre 3 par la formule de Taylor avec reste de Lagrange :

Le crochet multiplié par h/3 est donc égal à :

Développons maintenant f(x) à l'ordre 3 dans le voisinage [x_i - h,x_i + h] de x_i, posons ensuite t = x - x_i et intégrons entre les nouvelles bornes -h et h :

Finalement :

En notant M le maximum de |f ⁽⁴⁾(x)| sur l'intervalle [a,b], l'erreur sur [x_i - h, x_i + h] ne peut donc excéder e_i(h) = 4Mh⁵/90. Le nombre n de subdivisions est pair : si n = 2p, i varie de 0 à p - 1, p = n/2 et h = (b - a)/n.

Conclusion :    

L'erreur globale ε ne peut donc pas dépasser p x 4Mh⁵/90, soit :

Ainsi, l'erreur théorique est en 1/n⁴ (par exemple, en doublant n, l'erreur théorique est divisé par 16) ce qui est fort précis en comparaison de la méthode des trapèzes (en 1/n²) ou celle des rectangles (en 1/n). Mais gare aux erreurs d'arrondi que pourrait engendrer l'ordinateur...

 ➔  Toujours s'assurer d'un encadrement de la valeur exacte. La méthode des trapèzes pour une fonction monotone permet cet encadrement (quitte à découper l'intervalle d'intégration). La méthode de Poncelet, basée sur une utilisation de la méthode des trapèzes par excès et par défaut, permet de fournir une évaluation simple de l'erreur commise.
 

Pour tester ce programme vous devez entrer la fonction utilisée en utilisant une syntaxe comprise par le langage JavaScript. Cependant, l'instruction with (Math), placée en début de procédure, évite à l'utilisateur de préciser Math devant chaque fonction mathématique utilisée.

• multiplication : * ,   division : /

• racine carrée : sqrt(x)

• puissance : pow(x,n). Pour x² ou x³, utiliser plutôt x*x et x*x*x

• fonctions usuelles : sin(), cos(), tan(), atan(), abs(); log népérien : log() , exponentielle de base e : exp() , ...

• les appellations pi (pour π) et e sont comprises par le programme.

 ➔  Par défaut f(x) = 1/x. C'est dire que nous calculons des approximations du logarithme népérien de x en donnant à la borne inférieure a la valeur 1 et en donnant à b une valeur strictement positive de notre choix.

Le programme traite les intégrales généralisées convergentes. Par exemple l'intégrale de sin(x)/x sur [0,π] en prolongeant sin(x)/x par 1 en x = 0, de valeur approchée 1,8519.

Le programme est nettement plus performant que la méthode des trapèzes : avec seulement 20 points de subdivision, ln 2 est calculé avec 6 décimales.

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