ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Méthode de Simpson             programme en ligne , majoration de l'erreur       méthode de Simpson dite des 3/8 , autres méthodes

Le défaut évident du calcul approché d'une intégrale par la méthode des trapèzes (et a fortiori par celle, élémentaire, des rectangles) est de remplacer grossièrement un arc de courbe M_iM_i+1 par le segment [M_iM_i+1]. Ces méthodes fort simples à programmer restent cependant très imprécises. Simpson apporte une correction très efficace correspondant à la méthode de Newton-Cotes (interpolation de degré 2) :

Soit f une fonction continue sur [a,b], il s'agit d'approcher l'intégrale :

La méthode de Simpson consiste à grouper trois points consécutifs de la courbe M_i, M_i+1 et M_i+2 et de remplacer l'arc de courbe passant par ces trois points par un arc de parabole. Notons que si les points M_i, M_i+1 et M_i+2 sont alignés, le calcul des paramètres de la parabole d'équation y = mx² + px + q, passant par ces points conduira à m = 0. Par suite, quitte à parler de parabole dégénérée, ce cas n'est pas singulier.

Notons M_i(x_i,y_i), i = 1,2 ou 3, trois points consécutifs de la courbe représentative de la fonction f. Les paramètres m, p et q de la parabole cherchée sont solutions du système :

h désignant le pas x₃ - x₂ = x₂ - x₁ = (b - a)/2 de la subdivision, l'intégrale de la fonction mx² + px + q entre x₁ et x₃ peut s'écrire :

Compte tenu du système ci-dessus, que l'on ne résout surtout pas, on fait apparaître y₁ + y₃ dans le crochet et en remarquant que x₁ = x₂ - h et x₃ = x₂ + h, on obtient :

J = (y₁+ 4y₂ + y₃) h/3       (j)

Ce qui peut s'écrire plus élégamment : 

En conséquence, pour une intégration sur l'intervalle [a,b], en regroupant les points de la subdivision trois par trois en commençant à x_o = a : (x_o, x₁, x₂) , (x₂, x₃, x₄) , (x₄, x₅, x₆) , etc.

On remarque que le nombre n doit être pair et en utilisant la relation de Chasles pour les intégrales, on obtient, avec h = (b - a)/n, la formule d'approximation de Simpson :

Le programme est nettement plus performant que la méthode des trapèzes : avec seulement 20 points de subdivision, ln 2 est calculé avec 6 décimales.

est exacte pour les polynômes de d° 2. On vérifiera qu'elle est aussi exacte pour les polynômes de degré 3 en testant la formule J = (y₁+ 4y₂ + y₃) h/3 sur le monôme f(x) = x³. Pour cette raison, on appelle parfois la formule de Simpson : formule des trois niveaux.

Étude :   On suppose ici que f est au moins de classe C⁴. Sur un intervalle [x_i - h,x_i + h], subdivision de 3 points x_i - h, x_i, x_i + h, l'erreur commise par l'approximation de Simpson est :

Développons le second membre à l'ordre 3 par la formule de Taylor avec reste de Lagrange :

Le crochet multiplié par h/3 est donc égal à :

Développons maintenant f(x) à l'ordre 3 dans le voisinage [x_i - h,x_i + h] de x_i, posons ensuite t = x - x_i et intégrons entre les nouvelles bornes -h et h :

Finalement :

En notant M le maximum de |f ⁽⁴⁾(x)| sur l'intervalle [a,b], l'erreur sur [x_i - h, x_i + h] ne peut donc excéder e_i(h) = 4Mh⁵/90. Le nombre n de subdivisions est pair : si n = 2p, i varie de 0 à p - 1, p = n/2 et h = (b - a)/n.

Conclusion :    

L'erreur globale ε ne peut donc pas dépasser p x 4Mh⁵/90, soit :

Ainsi, l'erreur théorique est en 1/n⁴ (par exemple, en doublant n, l'erreur théorique est divisé par 16) ce qui est fort précis en comparaison de la méthode des trapèzes (en 1/n²) ou celle des rectangles (en 1/n). Mais gare aux erreurs d'arrondi que pourrait engendrer l'ordinateur... Toujours s'assurer d'un encadrement de la valeur exacte. La méthode des trapèzes pour une fonction monotone permet cet encadrement (quitte à découper l'intervalle d'intégration). La méthode de Poncelet