ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Les identités remarquables, étudiées en classe de 3ème se limitent à :

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²  : carré d'une somme

2. (a - b)² = a² - 2ab + b²  : carré d'une différence

3. (a + b)(a - b) = a² - b²    : différence de carrés;  
   » même résultat bien sûr pour (a - b)(a + b) !

Les trois identités remarquables ci-dessus sont aussi bien sûr des égalités. On les nomme identités pour signifier qu'elles restent vraies quelles que soient les valeurs attribuées aux nombres représentés par a et b. Lorsqu'une égalité n'est vraie que pour certaines valeurs de nombres représentés par des lettres, on parle d'équation. Les identités remarquables permettent de factoriser ou développer plus rapidement des expressions du second degré. Une autre identité remarquable bien utile, dès la seconde) est  a³ - b³ = (a - b )(a² + ab + b²).

 ➔  De telles formes se rencontrent très souvent en sciences physiques, en particulier en astronomie et dans les problèmes de cinématique (science du mouvement et de la mécanique) car notre planète et notre univers sont régis par des lois quadratiques (de degré 2) : trajectoires elliptiques des planètes, paraboliques ou hyperboliques d'objets célestes (comme les comètes), mouvement parabolique des projectiles, mouvement accéléré, nature sphérique des planètes, etc.

Littéralement :

• (ax + b)² = (ax + b)(ax + b)  =  a²x² + abx + bax + b²
               = a²x² + 2abx + b²

• (ax - b)² = (ax - b)(ax - b)  =  a²x² - abx - bax + b²
               = a²x² - 2abx + b²

• (ax + b)(ax - b)  =  a²x² - abx + bax - b²
                          = a²x² - b²

 ➔  On n'ajoute que des objets de même nature : des x avec des x, des x² avec des x², etc. Pour obtenir des x³, il aurait fallu avoir une forme multiplicative comme 6x² × 15x = 90x³ car x² × x = x × x × x = x³.

Numériquement :

• (2x + 5)² = 4x² +20x + 25

• (x + ½)² = x² + x + 1/4

• (½x + 1)² = ¼ x² + x + 1                    
  »  on ne doit pas écrire 1x : mais tout simplement x car 1x c'est 1 × x, tout comme  1 x 2 = 2, 1 × 3 = 3, etc.

• (2x - ¼)² = 4x² - x + 1/16

• (1 - 3x)² = 1 - 6x + 9x²

• (2x + 5)(2x - 5) = 4x² - 25

• (4 - 7x)(4 + 7x) = 16 - 49x²

 ➔    Il faut s'entraîner à faire le calcul « en 1 coup » comme dans les exemples donnés !

Et maintenant, entraînez-vous : en cas de mauvaise réponse, le programme vous affichera le développement et le résultat réduit.

 !   Les identités remarquables (ax ± b)² et (b ± ax)² doivent être développées suivant les puissances croissantes ou décroissantes. Par exemple : (7x - 2)² et (2 - 7x)² seront développées au choix 49x² - 28x + 4 ou 4 - 28x + 49x² mais 49x² + 4 - 28x ne sera pas accepté. Ce "formatage" (usuel en mathématiques) permet de simplifier le programme...

 !   Ne pas mettre d'espaces entre les signes et les nombres  !
Vous pouvez obtenir la réponse sans écrire la votre : cliquez sur OK, mais vous n'aurez pas une bonne note...

Le carré de x s'obtient avec la touche du petit  2    de ton clavier, en haut, à gauche du 1&

Forme combinée (mx ± p)² ± (ax ± b)(cx ± d)  :  ››››

Internautes, élèves, professeurs, dans l'intérêt de tous, merci de me signaler des bugs éventuels dans ce programme.