![]() ![]() |
1. E est de dimension 3, (i,j,k) en est une base orthonormée. Pour tout v de E, on pose :
f(v) = (i ∧v) ∧i
Montrer que f est une application linéaire; préciser son noyau et son image.
» Repère orthonormé , Produit vectoriel
2. ! deux applications linéaires distinctes peuvent avoir même noyau et même image !
Considérer f et k.f lorsque k est un scalaire non nul
Lorsque dim E = 3, considérer les endomorphismes f et g de matrices respectives dans une base B :
➔ On pourra démontrer que si f est un projecteur de E, endomorphisme idempotent, c'est à dire si f o f = f, alors Ker(f) et Im(f) caractérisent f.
3-A E désigne un espace vectoriel de dimension au moins égale à 2 sur un corps K. Soit D un sous-espace vectoriel de E de dimension 1 (droite vectorielle). On appelle h l'application de E vers E définie par :
a/
Montrer que h(k.v) = k.h(v)
pour tout k de K et tout v de E.
b/
Prouver, par un choix judicieux de v et w, que l'égalité h(v + w)
= h(v) + h(w) n'est généralement pas vérifiée
On
dit d'une telle application
n'est pas additive.
3-B Voici une application additive s'avérant linéaire :
c/ On considère deux espaces vectoriels sur le corps Q des nombres rationnels et f une application additive de E vers F, c'est à dire :
Nous allons prouver que f est linéaire :
d/
Vérifier que f(0E)
= 0F et que pour tout v de
E, f(-v) = - f(v).
e/
Prouver, par
récurrence
sur n, que pour tout entier naturel n et tout élément v de E :
f(n . v) = n . f(v)
f/
En remarquant que si n est un
entier relatif négatif, on a n = - |
n | avec (donc) |
n | entier naturel,
prouver que l'égalité ci-dessus se prolonge à tout n de
Z.
g/ En remarquant que n/n = 1 pour tout
entier relatif non nul, prouver que :
h/ En remarquant maintenant que tout rationnel q = a/b, s'écrit a × 1/b, prouver que f(q . v) = q . f(v). Conclure.
➔ Le résultat ci-dessus ne s'étend pas à R : on peut considérer R comme un espace vectoriel de dimension infinie sur Q et dans cet espace R, Q apparaît alors comme un sous-espace de dimension 1. On peut alors écrire R comme somme directe de Q et d'un sous-espace vectoriel V, supplémentaire de Q dans R : R = Q ⊕ V.
Par suite, tout réel x s'écrit de façon unique comme somme d'un rationnel q et d'un élément v de V : x = q + v. Considérons alors maintenant R comme espace vectoriel sur lui même et soit f l'application qui à tout x = q + v associe q :
∀ x∈R : f(x) = q avec x = q + v
f est clairement additive mais elle ne respecte pas la loi externe de R car ici, r est de dimension 1 et par conséquent toute application linéaire est une homothétie dont on peut noter k le rapport. Or 1 est rationnel, donc d'une part f(1) = 1 et d'autre part f(1) = k.1 = k; donc k = 1 et par suite f est l'application identique : f(x) = x pour tout réel x.
Or ceci n'est pas possible car √2, par exemple, n'est pas rationnel et son image est, par définition, rationnelle, donc distincte de √2. Mais on ne connaît pas l'image de √2 : assurer l'existence de V est une chose, l'exhiber en est une autre. D'ailleurs ces lignes ne sont plus valables si vous refusez l'axiome du choix...
4.1 Un endomorphisme dont le noyau est aussi l'image : E est un plan vectoriel rapporté à une base B = (i,j). On note f l'endomorphisme dont la matrice relativement à B, est :
i/ Vérifier que l'image de E par f est la droite vectorielle engendrée par u = i - j , dont une équation est y = -x, et qu'il en est de même du noyau.
ii/ Calculer la matrice de f o f ? Le résultat est-il surprenant ? Rép. : non !
4.2 Un endomorphisme dont le noyau est inclus strictement dans l'image : E est un espace vectoriel de dimension 3 rapporté à une base B = (i, j, k). Considérer l'endomorphisme g de E défini par g(i) = g(k) = k et g(j) = i.
4.3 Un endomorphisme dont l'image est incluse strictement dans le noyau : avec les notations ci-dessus, considérer cette fois l'endomorphisme h de E défini par h(i) = h(j) = h(k) = -2i + j + k.
5. Étude d'un endomorphisme numérique :
Soit E l'espace vectoriel des fonctions numériques, continues sur R et prenant la valeur zéro au point zéro. On remarque que E contient le sous-espace P des polynômes nuls en zéro dont une base est (e1, e2, ..., en, ...) où en désigne le monôme défini par en(x) = xn , n∈N. P est donc de dimension infinie et par conséquent E aussi.
Pour tout f de
E, on note F la primitive de f, nulle en 0 : F(x) =
et on pose h(f) = F.
1/ Montrer que h est
un endomorphisme de E.
2/ On note θ
la fonction nulle; c'est un élément de E. En
étudiant l'équation h(f) =
θ,
montrer que le noyau de h est réduit à
{θ}
: h est donc injective.
3/ On suppose alors
que h est aussi surjective : cela signifierait que toute fonction
continue sur R et nulle en zéro est primitive d'une telle
fonction; or ceci est faux : considérer f définie par
f(x) = | x |, valeur absolue de x.
6a. Projection vectorielle (projecteur) : |
Dans un plan vectoriel P (espace vectoriel de dimension 2) dont une base est notée (i,j), on appelle projecteur (ou projection vectorielle) un endomorphisme π tel que π o π = π on parle d'endomorphisme idempotent car ses puissances, au sens de la loi o, sont toutes égales à π. » idempotent (élément).
! Une application idempotente n'est pas nécessairement linéaire : considérer x → |x| de R dans lui-même ou l'application vectorielle du plan f : v(x,y) → v(|x|,y)
1/ Il est clair que l'application identique idP : v → v vérifie idP o idP = idP. Montrer idP que est le seul endomorphisme bijectif idempotent.
➔ Dans toute la suite, π désigne un projecteur distinct de idP.
2/ Montrer que la matrice M de π est de la forme :
3/ Montrer que
l'ensemble des vecteurs invariants par π coïncide avec
Im(f).
4/ Montrer que si π n'est pas l'endomorphisme nul θ,
alors il existe une base (u,v) dans laquelle la matrice
de π s'écrit :
Il s'agit alors du projecteur de base (d) dirigée par u de direction (la droite engendrée par) v.
5/ Montrer que l'endomorphisme f défini par sa matrice :
est un projecteur. Vérifier alors 2/ et reprendre, sur ce cas particulier, les questions 3/ et 4/.
» Une application affine f du plan ou de l'espace vérifiant f o f = f est une projection sur une droite (ou un plan) parallèlement à une direction donnée (droite ou plan). Son endomorphisme associé est un projecteur. Réciproquement, une application affine dont l'endomorphisme associé est un projecteur n'est pas toujours une projection : » projection affine.
6b. Symétrie vectorielle : |
Partie A
E désignant un espace vectoriel sur R, on considère un endomorphisme involutif φ de E, c'est à dire tel que φ o φ = idE (bijection coïncidant avec sa réciproque). Pour tout vecteur v de E, on note v' = φ(v) son image par φ.
a/ Montrer que pour tout v de E, le vecteur v + v'
est invariant par φ et que v' - v est changé en son opposé.
b/ On pose F = {v, v∈E,
φ(v) = v} et G = {v, v∈E,
φ(v) = -v}. Justifier brièvement que F et G sont des sous-espaces vectoriels de
E.
c/ Prouver que E est somme directe
de F et G : E = F ⊕ G.
d/ Justifier l'appellation symétrie vectorielle par rapport à F, de direction
G.
Indications :
b/ Il suffit de montrer que toute combinaison linéaire d'éléments de
F (resp. G) est un élément de F (resp. G), ce qui est aisé vu la linéarité de φ.
c/ Utiliser que v peut s'écrire ½(v + v') +
½(v - v')
d/ Tout vecteur v de E s'écrit vF + vG
∈F ⊕
G,
donc φ(v) = vF - vG.
La composante en F est invariante, la composante en G subit une symétrie
"parallèlement" à G (de "direction" est plus correct dans ce contexte
vectoriel).
Partie B
E désigne ici un espace vectoriel sur R
de dimension 2 dont une base est notée
(i,j).
Dans la base (i,j), la matrice de φ est de la
forme :
a/ Établir les
relations existant entre a, b, c, et d.
b/
Montrer qu'en dehors des cas φ =
± idE
, f admet une droite vectorielle de
vecteurs invariants dont on donnera un vecteur directeur u et une droite vectorielle de vecteurs changés en leur
opposé dont on donnera un vecteur directeur v.
c/ Vérifier que (u,v) est une base de E et donner la matrice de φ
dans cette base.
d/ Vérifier les calculs précédents dans les cas i/ a = d = 0, b = 2
et ii/ a = - d = 2, b = - c = √3
Réponses :
a/ On a M2 = I, matrice unité. Ce qui mène à 4 équations : a2 + bc = 1, c(a + d) = 0, b(a + d) = 0 et d2 + bc = 1.
Supposons a ≠ - d; on a alors b = c = 0, a2 = d2 = 1 : le cas a = d = 1 conduit à φ = idE ; le cas a = d = -1 conduit à φ = -idE.
Supposons a = - d; sous cette condition, le système se résume alors à a2 + bc = 1 :
b/ φ(v) = v ⇔ Mv = v, ce qui fournit le système linéaire :
(a - 1)x + cy = 0
bx - (a + 1)y = 0.
Le déterminant est D = 1 - (a2 + bc) = 0. Les deux équations de ce système homogènes sont donc proportionnelles et définissent en général une droite vectorielle. Discussion : si a = 1, alors bc = 0, c peut être nul, on choisit alors l'équation bx - 2y = 0. Si a ≠ 1, on choisit l'équation (a - 1)x + cy = 0. Relativement à la base (i,j), on prendra :
u(2;b) si a = 1 et u(-c;a - 1) si a ≠ 1
φ(v) = -v ⇔ Mv = -v :
(a + 1)x + cy = 0
bx - (a - 1)y = 0. Là encore, le déterminant est nul.
De manière analogue au cas précédent, suivant que a = 1 ou non : relativement à la base (i,j), on prendra :
v(-c;2) si a = 1 et v(a - 1;b) si a ≠ 1
c/ Si a = 1, on a u(2;b), v(-c;2) et bc = 0. det (u,v) = 4 ≠ 0 : u et v sont donc linéairement indépendants dans un espace de dimension 2; ils forment donc une base de E. Si a ≠ 1, on a u(-c;a - 1), v(a - 1,b) avec a2 + bc = 1. det (u,v) = 2(a - 1) ≠ 0.
Finalement, dans la base (u,v), on a u(1,0) et v(0,1) et puisque φ(u) = u et φ(v) = - v, la matrice devient :
d/ Le cas i/ implique c = 1/2 afin que φ soit involutive...
7. On considère les matrices 2 × 2 de la forme :
1/ Montrer que l'ensemble de ces
matrices est stable pour la multiplication.
2/ Lorsque la matrice Ma est inversible, calculer son inverse.
3/ Montrer que pour tout n, on a :
8. On considère la matrice :
Calculer M2, puis M4, puis M8. En déduire M2009.
Indic. : Si I désigne la matrice unité, vous devez constater que M4 = -I, donc M8 = (M4)2 = I. La division euclidienne de 2004 par 8 fournit : 2009 = 251 × 8 + 1. Donc M2009 = (M8)251 × M = I251 × M = I × M = M. » On remarquera que i est une matrice de rotation, d'angle π/4.
9.
Existe-t-il des matrices
carrées A d'ordre 2, non nulles, distinctes de -I (opposée de la matrice unité)
et telles que A2 = - A ?
Rép. :
oui, par exemple :
. Mais recherchez-les
toutes !