ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Exercices & problèmes : Applications linéaires & matrices

1.  E est de dimension 3, (i,j,k) en est une base orthonormée. Pour tout v de E, on pose :

f(v) = (i v) i

Montrer que f est linéaire; préciser son noyau et son image.

  repère orthonormé , produit vectoriel

2.   deux applications linéaires distinctes peuvent avoir même noyau et même image !

• Considérer f et k.f  lorsque k est un scalaire non nul

• Lorsque dim E = 3, considérer les endomorphismes f et g de matrices respectives dans une base B :

 

Mais on pourra démontrer que si f est un projecteur de E, endomorphisme idempotent, c'est à dire si f o f = f, alors Ker(f) et Im(f) caractérisent f.

3-A E désigne un espace vectoriel de dimension au moins égale à 2 sur un corps K. Soit D un sous-espace vectoriel de E de dimension 1 (droite vectorielle). On appelle h l'application de E vers E définie par :

a/ Montrer que h(k.v) = k.h(v) pour tout k de K et tout v de E.

b/ Prouver, par un choix judicieux de v et w, que l'égalité h(v + w) = h(v) + h(w) n'est généralement pas vérifiée On dit d'une telle application n'est pas additive.

3-B Voici une application additive s'avérant linéaire :

c/ On considère deux espaces vectoriels sur le corps Q des nombres rationnels et f une application additive de E vers F, c'est à dire :

(v,w) E² : f(v + w) = f(v) + h(w)

Nous allons prouver que f est linéaire :

d/ Vérifier que f(0_E) = 0_F et que pour tout v de E, f(-v) = - f(v).

e/ Prouver, par récurrence sur n, que pour tout entier naturel n et tout élément v de E :

f(n . v) = n . f(v)

f/ En remarquant que si n est un entier relatif négatif, on a n = -| n | avec (donc) | n | entier naturel, prouver que l'égalité ci-dessus se prolonge à tout n de Z.

g/ En remarquant que n/n = 1 pour tout entier relatif non nul, prouver que :

h/ En remarquant maintenant que tout rationnel q = a/b, s'écrit a1/b, prouver que f(q . v) = q . f(v). Conclure.

 Le résultat ci-dessus ne s'étend pas à R : on peut considérer R comme un espace vectoriel de dimension infinie sur Q et dans cet espace R, Q apparaît alors comme un sous-espace de dimension 1. On peut alors écrire R comme somme directe de Q et d'un sous-espace vectoriel V, supplémentaire de Q dans R : R = QV.

Par suite, tout réel x s'écrit de façon unique comme somme d'un rationnel q et d'un élément v de V : x = q + v. Considérons alors maintenant R comme espace vectoriel sur lui même et soit f l'application qui à tout x = q + v associe q :

xR : f(x) = q  avec x = q + v

f est clairement additive mais elle ne respecte pas la loi externe de R car ici, r est de dimension 1 et par conséquent toute application linéaire est une homothétie dont on peut noter k le rapport. Or 1 est rationnel, donc d'une part f(1) = 1 et d'autre part f(1) = k.1 = k; donc k = 1 et par suite f est l'application identique : f(x) = x pour tout réel x.

Or ceci n'est pas possible car 2, par exemple, n'est pas rationnel et son image est, par définition, rationnelle, donc distincte de 2. Mais on ne connaît pas l'image de 2 : assurer l'existence de V est une chose, l'exhiber en est une autre. D'ailleurs ces lignes ne sont plus valables si vous refusez l'axiome du choix...

4.1  Un endomorphisme dont le noyau est aussi l'image :  E est un plan vectoriel rapporté à une base B = (i,j). On note f l'endomorphisme dont la matrice relativement à B, est :

i/ Vérifier que l'image de E par f est la droite vectorielle engendrée par u = i - j , dont une équation est y = -x, et qu'il en est de même du noyau.

ii/ Calculer la matrice de f o f ? Le résultat est-il surprenant ? Rép. : non !

4.2  Un endomorphisme dont le noyau est inclus strictement dans l'image : E est un espace vectoriel de dimension 3 rapporté à une base B = (i, j, k). Considérer l'endomorphisme g de E défini par g(i) = g(k) = k et g(j) = i.

4.3  Un endomorphisme dont l'image est incluse strictement dans le noyau : avec les notations ci-dessus, considérer cette fois l'endomorphisme h de E défini par h(i) = h(j) = h(k) = -2i + j + k.

5. Étude d'un endomorphisme numérique :     

Soit E l'espace vectoriel des fonctions numériques, continues sur R et prenant la valeur zéro au point zéro. On remarque que E contient le sous-espace P des polynômes nuls en zéro dont une base est (e₁, e₂, ..., e_n, ...) où e_n désigne le monôme défini par e_n(x) = xⁿ , nN. P est donc de dimension infinie et par conséquent E aussi.

Pour tout f de E, on note F la primitive de f, nulle en 0 :  F(x) = et on pose h(f) = F.

1/ Montrer que h est un endomorphisme de E.

2/ On note θ la fonction nulle; c'est un élément de E. En étudiant l'équation h(f) = θ, montrer que le noyau de h est réduit à {θ} : h est donc injective.

3/ On suppose alors que h est aussi surjective : cela signifierait que toute fonction continue sur R et nulle en zéro est primitive d'une telle fonction; or ceci est faux : considérer f définie par f(x) = | x |, valeur absolue de x.  

Dans un plan vectoriel P (espace vectoriel de dimension 2) dont une base est notée (i,j), on appelle projecteur (ou projection vectorielle) un endomorphisme π tel que π o π = π on parle d'endomorphisme idempotent car ses puissances, au sens de la loi o, sont toutes égales à π.    idempotent (élément).

Une application idempotente n'est pas nécessairement linéaire : considérer x |x| de R dans lui-même ou l'application vectorielle du plan f : v(x,y) v(|x|,y)

1/ Il est clair que l'application identique id_P : v v vérifie id_P o id_P = id_P. Montrer id_P que est le seul endomorphisme bijectif idempotent.

Dans toute la suite, π désigne un projecteur distinct de id_P.

2/ Montrer que la matrice M de π est de la forme :

3/ Montrer que l'ensemble des vecteurs invariants par π coïncide avec Im(f).

4/ Montrer que si π n'est pas l'endomorphisme nul θ, alors il existe une base (u,v) dans laquelle la matrice de π s'écrit :

Il s'agit alors du projecteur de base (d) dirigée par u de direction (la droite engendrée par) v.

• L'image de π est la droite (d); c'est aussi son sous-espace invariant.
• Le noyau de π, sous-espace des vecteurs dont l'image par π est nulle, est la droite vectorielle engendrée par v.
  Si V = au + bv, p(V) = au.

5/ Montrer que l'endomorphisme f défini par sa matrice :

est un projecteur. Vérifier alors 2/ et reprendre, sur ce cas particulier, les questions 3/ et 4/.

Une application affine f du plan ou de l'espace vérifiant f o f = f est une projection sur une droite (ou un plan) parallèlement à une direction donnée (droite ou plan). Son endomorphisme associé est un projecteur. Réciproquement, une application affine dont l'endomorphisme associé est un projecteur n'est pas toujours une projection : projection affine.

Partie A  

E désignant un espace vectoriel sur R, on considère un endomorphisme involutif φ de E, c'est à dire tel que φ o φ = id_E (bijection coïncidant avec sa réciproque). Pour tout vecteur v de E, on note v' = φ(v) son image par φ.

a/ Montrer que pour tout v de E, le vecteur v + v' est invariant par φ et que v' - v est changé en son opposé.
b/ On pose F = {v, vE, φ(v) = v} et G = {v, vE, φ(v) = -v}. Justifier brièvement que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E.
c/ Prouver que E est somme directe de F et G : E = FG.
d/ Justifier l'appellation symétrie vectorielle par rapport à F, de direction G.

Indications :

b/ Il suffit de montrer que toute combinaison linéaire d'éléments de F (resp. G) est un élément de F (resp. G), ce qui est aisé vu la linéarité de φ.
c/ Utiliser que v peut s'écrire ½(v + v') + ½(v - v')
d/ Tout vecteur v de E s'écrit v_F + v_G FG, donc φ(v) = v_F - v_G. La composante en F est invariante, la composante en G subit une symétrie "parallèlement" à G (de "direction" est plus correct dans ce contexte vectoriel).

Partie B  

E désigne ici un espace vectoriel sur R de dimension 2 dont une base est notée (i,j).
Dans la base (i,j), la matrice de φ est de la forme :

a/ Établir les relations existant entre a, b, c, et d.
b/ Montrer qu'en dehors des cas φ = ± id_E , f admet une droite vectorielle de vecteurs invariants dont on donnera un vecteur directeur u et une droite vectorielle de vecteurs changés en leur opposé dont on donnera un vecteur directeur v.
c/ Vérifier que (u,v) est une base de E et donner la matrice de φ dans cette base.
d/ Vérifier les calculs précédents dans les cas i/ a = d =  0, b = 2  et ii/ a = -d = 2, b = -c = √3

Indications :

a/ On a M² = I, matrice unité. Ce qui mène à 4 équations : a² + bc = 1, c(a + d) = 0, b(a + d) = 0 et d² + bc = 1.

• Supposons a - d; on a alors b = c = 0, a² = d² = 1 : le cas a = d = 1 conduit à φ = id_E ; le cas a = d = -1 conduit à φ = -id_E.

• Supposons a = - d; sous cette condition, le système se résume alors à a² + bc = 1 :

b/ φ(v) = v Mv = v, ce qui fournit le système linéaire :

(a - 1)x + cy = 0
bx - (a + 1)y = 0.

Le déterminant est D = 1 - (a² + bc) = 0. Les deux équations de ce système homogènes sont donc proportionnelles et définissent en général une droite vectorielle. Discussion : si a = 1, alors bc = 0, c peut être nul, on choisit alors l'équation bx - 2y = 0. Si a 1, on choisit l'équation (a - 1)x + cy = 0.
Relativement à la base (i,j), on prendra  u(2;b) si a = 1 et u(-c;a - 1) si a 1.
b/ φ(v) = -v Mv = -v :

(a + 1)x + cy = 0
bx - (a - 1)y = 0.

Là encore, le déterminant est nul. De manière analogue, suivant que a = 1 ou non :
Relativement à la base (i,j), on prendra  v(-c;2) si a = 1 et v(a - 1,b) si a 1.
c/ Si a = 1, on a u(2;b), v(-c;2) et bc = 0. det (u,v) = 4 0. Si a 1, on a u(-c;a - 1), v(a - 1,b) avec a² + bc = 1. det (u,v) = 2(a - 1) 0

Finalement, dans la base (u,v), on a u(1,0) et v(0,1) et puisque φ(u) = u et φ(v) = -v, la matrice devient :

d/ Le cas i/ implique c = 1/2 afin que φ soit involutive...

7. On considère les matrices 2 x 2 de la forme :

1/ Montrer que l'ensemble de ces matrices est stable pour la multiplication.
2/ Lorsque la matrice M_a est inversible, calculer son inverse.
3/ Montrer que pour tout n, on a :

8.  On considère la matrice :

Calculer M², puis M⁴, puis M⁸. En déduire M²⁰⁰⁹.

Rép. : Si I désigne la matrice  unité, vous devez constater que M4 = -I, donc M8 = (M4)2 = I. La division euclidienne de 2004 par 8 fournit : 2009 = 251 8 + 1. Donc  M²⁰⁰⁹ = (M⁸)²⁵¹ M = I²⁵¹ M = I M = M.  On remarquera que i est une matrice de rotation, d'angle π/4.

9. Existe-t-il des matrices carrées A d'ordre 2, non nulles, distinctes de -I (opposée de la matrice unité) et telles que A² = -A ?
Rép. : oui, par exemple : . Mais recherchez-les toutes !