ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Le refroidissement, un phénomène exponentiel  #2      #1 , #3 , #4 , #5       Exo/TD niveau TerES/S
      
  Différentielle , Équations différentielles         

Soit T la température en degrés Celsius (°C) d'un corps à l'instant t (T est fonction du temps t). Une des lois de Newton sur la thermodynamique énonce :

la vitesse de refroidissement d'un corps dans un milieu ambiant de température τ est proportionnel à la différence T - τ

Une barre de métal chauffée à 200° C est laissée à refroidir pendant 3 minutes dans un local dont la température ambiante est de 20° C. 

On constate alors que la température de la barre est de 80° C.

Dans combien de temps la température de la barre atteindra-telle 25° C ?

Indications et réponse :   

  En posant y = T - τ , établir une équation différentielle très simple de la forme y' = ay. En déduire que la température T du corps à l'instant t est donnée par :

T = τ + (To - τ).ekt

où To désigne la température initiale du corps au début de l'observation du refroidissement et k une constante que l'on détermine eu égard aux conditions initiales. Finalement :

T = 20 + 180ekt        (1)

  On calcule maintenant k en choisissant la minute comme unité de temps et en remarquant que T = 80° au bout de 3 minutes :

  Avec cette valeur de k reportée dans (1),  la barre sera à 25° C lorsque l'on aura t = - 3*ln(5/180)/ln(3). La soit calculatrice fournit 9,78, c'est à dire après environ 10 minutes.

   La barre aura "beaucoup de mal" à revenir à la température ambiante... pourquoi ?


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