ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 CARTAN Henri Paul,
français, 1904-2008
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Henri
Paul est le fils
d'Elie
Cartan. Il fit ses études secondaires au lycée Hoche
de Versailles. Normalien (ancien élève de l'ENS),
agrégé de mathématiques (1926), Henri Cartan commence modestement une carrière au
lycée de Caen, mais soutiendra une thèse en analyse complexe dirigée par
Montel (1928) qui lui vaut un poste d'enseignement à
la faculté des sciences de Lille.
Après avoir enseigné à la faculté des sciences de Strasbourg, Cartan sera à la tête du département de mathématiques de l'ENS dès 1940 et enseignera à Paris jusqu'en 1969, puis à Orsay jusqu'à sa retraite en 1975.
Ses travaux portèrent sur les fonctions de plusieurs variables complexes, la théorie du potentiel, l'algèbre homologique, la théorie des faisceaux (» réf. 5) initiée en 1946 par Jean Leray. Membre de l'Académie des Sciences (1974). Il reçut (1976) la médaille d'or du Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), partagea le prix Wolf (1980) avec Kolmogorov et organisa le premier congrès européen de mathématiques qui se tint à Paris en 1992 (il se tient désormais tous les 4 ans).
Parmi ses étudiants renommés, on compte tout particulièrement Roger Godement, Jean-Pierre Serre, René Thom, Bernard Malgrange, Jean Cerf, dont il dirigea les thèses.
Henri Cartan fut cofondateur du célèbre groupe de mathématiciens français constitué en 1935 pour une refonte complète des mathématiques (modernes) sous le pseudonyme de Nicolas Bourbaki. Il est également à l'origine (1948) du séminaire portant son nom, mis en place à l'ENS, auquel participèrent les plus grands noms de l'époque jusqu'en 1964 (» réf. 7).
➔ Henri Cartan connut les deux guerres mondiales du 20è siècle. Il milita tout au long de sa longue vie pour les Droits de l'Homme et une Europe unie. Il meurt le 13 août 2008 à l'âge de 104 ans. Son épouse Nicole, 92 ans, décédera la même année 5 mois plus tard. On pourra visionner in fine la vidéo d'Isabelle Broué, scénariste et réalisatrice, fille du mathématicien Michel Broué (» réf. 10), réalisée en collaboration avec le CNRS et Jean-Pierre Serre en 1995 (Henri Cartan avait 91 ans), et lire son fort intéressant récit relatif à sa rencontre avec Henri et Nicole Cartan (» réf. 11).
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Notion de filtre, base de filtre, ultrafiltre (1937) : |
Le concept de limite est vaste : limite d'une suite, d'une série, limite d'une fonction en un point fini ou non, limite d'une suite ou d'une série de fonctions, etc. Dans le cadre de la topologie générale et calqué sur deux propriétés caractéristiques de la notion de voisinage d'un point, Cartan exhibe le concept de filtre (Théorie des filtres, 1937 dont le point de vue sera adopté par Bourbaki :
E désignant un ensemble non vide, on appelle filtre sur E un ensemble non vide Φ de parties de E telles que :
Tout élément A de Φ est non vide : A∈Φ ⇒ A ≠ Ø;
Si A est un élément de Φ, toute partie contenant A est élément de Φ : A∈Φ , B⊃A ⇒ B∈Φ;
Si A et B sont éléments de Φ, il en est de même de leur intersection : A∈Φ , B∈Φ ⇒ A∩B∈Φ.
Dans R, tout intervalle Vh(x) = ]x - h, x + h[, avec h > 0 est un voisinage de x dont l'ensemble constitue un filtre.
On appelle voisinage de +∞ les intervalles de la forme ]a,+∞[, a∈R. Montrer que l'on définit ainsi un filtre sur R.
Dans un espace topologique quelconque X, l'ensemble des voisinages d'un élément de x est un filtre sur X.
Si A est une partie non vide d'un ensemble E, l'ensemble des parties qui contiennent A est un filtre sur E.
Quelques notions de topologie générale : »
∗∗∗
Montrer que dans N, l'ensemble des
complémentaires des parties finies est un filtre sur N (nommé
filtre
de Fréchet).
Limite suivant un filtre :
Soit X un ensemble non vide muni d'un filtre Φ, Y un espace topologique et λ un élément de Y. On note V(λ) le filtre des voisinages de λ dans Y. On dit qu'une fonction f : X → Y admet λ comme limite suivant le filtre Φ pour exprimer que :
∀V∈V(λ) , ∃ A∈Φ / f(A)⊂V (d1)
Si f est numérique, admettant la limite λ finie lorsque x tend vers +∞, on écrira suivant le filtre Φ = {]a,+∞[, a∈R} des voisinages de l'infini positif :
∀V∈V(λ) , ∃ V∞∈Φ / f(V∞)⊂V
Par définition, si une partie A est élément d'un filtre Φ, toutes les parties qui la contiennent sont aussi éléments de Φ, d'où l'idée de privilégier le rôle des "plus petits" éléments du filtre :
Base d'un filtre :
Si Φ est un filtre sur X, on appelle base de Φ, toute sous-ensemble β de Φ telle que tout élément A de Φ contienne un élément de β, ce que l'on peut écrire :
∀A∈Φ , ∃B∈β / A⊃B.
La définition (d1) de la limite peut alors s'écrire de façon équivalente au moyen d'une β base de Φ :
∀V∈V(λ) , ∃ B∈β / f(B)⊂V (d2)
∗∗∗
1. Si β est une base d'un filtre
Φ, Montrer que toute intersection
de deux éléments de
Φ
contient un
élément de
β.
2. Montrer
que l'ensemble des βk = {n∈N
/ n > k} est une base du filtre de Fréchet (défini
ci-dessus).
3. Dans R, Montrer
que l'ensemble des Vh(x) = ]x - h, x + h[ \ {x}, c'est à
dire Vh(x) privé de x, est une base
du filtre Vx des voisinages d'un réel x.
Ultrafiltre
On peut définir un ordre sur les filtres d'un ensemble E au moyen de l'inclusion : on dira qu'un filtre Φ' est plus fin qu'un filtre Φ pour exprimer que Φ⊂Φ'. On dit aussi que Φ est moins fin que Φ'. Cette dernière locution exprime un ordre sur l'ensemble des filtres de E. Le plus petit élément au sens de cet ordre est E lui-même.
On appelle ultrafiltre sur E tout élément maximal U de l'ensemble ordonné des filtres sur E. Autrement dit, il n'existe pas de filtre sur E plus fin que U.
∗∗∗
Soit a∈E.
Montrer que l'ensemble des parties de E qui contiennent a est un ultrafiltre sur
E.
Quelques propriétés des ultrafiltres :
Tout filtre sur E est l'intersection des ultrafiltres plus fins que lui.
Théorème de Tikhonov : »
Henri Cartan, une vie de mathématicien, vidéo
YouTube (CNRS), 1995
➔ Pour en savoir plus :
Henri Cartan, une vie de mathématicien, vidéo YouTube (CNRS, 1995) :
Dubreil