ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

CARTAN Henri Paul, français, 1904-2008

Henri Paul est le fils d'Elie Cartan. il fit ses études secondaires au lycée Hoche de Versailles. Ancien élève de l'ENS, agrégé de mathématiques (1926), Henri Cartan commence une carrière modestement au lycée de Caen mais soutiendra une thèse en analyse complexe dirigée par Montel (1928) qui lui vaut un poste d'enseignement à la faculté de Lille.

Après avoir enseigné à la faculté des sciences de Strasbourg, Cartan sera à la tête du département de mathématiques de l'ENS dès 1940 et enseignera à Paris jusqu'en 1969, puis à Orsay jusqu'à sa retraite en 1975.

Ses travaux portèrent sur les fonctions de plusieurs variables complexes, la théorie du potentiel, l'algèbre homologique, théorie des faisceaux. Membre de l'Académie des Sciences (1974). Il reçut (1976) la médaille d'or du Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), partagea le prix Wolf (1980) avec Kolmogorov et organisa le premier congrès européen de mathématiques qui se tint à Paris en 1992 (il se tient désormais tous les 4 ans).

Parmi ses étudiants renommés, on compte tout particulièrement Roger Godement, Jean-Pierre Serre, René Thom, Bernard Malgrange, Jean Cerf, dont il dirigea les thèses.

Henri Cartan fut cofondateur du célèbre groupe de mathématiciens français constitué en 1935 pour une refonte complète des mathématiques (modernes) sous le pseudonyme de Nicolas Bourbaki. Il est également à l'origine (1948) du séminaire portant son nom, mis en place à l'ENS, auquel participèrent les plus grands noms de l'époque jusqu'en 1964 ( réf. 7).

Notion de filtre, ultrafiltre (1937) :

Le concept de limite est vaste : limite d'une suite, d'une série, limite d'une fonction en un point fini ou non, limite d'une suite ou d'une série de fonctions, etc. Dans le cadre de la topologie générale et calqué sur deux propriétés caractéristiques de la notion de voisinage d'un point, Cartan exhibe le concept de filtre (Théorie des filtres, 1937 dont le point de vue sera adopté par Bourbaki :

E désignant un ensemble non vide, on appelle filtre sur E un ensemble non vide de parties de E telles que :

  1. Tout élément A de est non vide : A A ;

  2. Si A est un élément de , toute partie contenant A est élément de : A , BA B;

  3. Si A et B sont éléments de , il en est de même de leur intersection : A , B AB.

Quelques notions de topologie générale :


Montrer que dans N, l'ensemble des complémentaires des parties finies est un filtre sur N (nommé filtre de Fréchet).

Par définition, si une partie A est élément d'un filtre , toutes les parties qui la contiennent sont aussi éléments de , d'où l'idée de privilégier le rôle des "plus petits" éléments du filtre :

Base d'un filtre :      

Si est un filtre sur E, on appelle base de , toute partie de telle que tout élément A de contienne un élément de , ce que l'on peut écrire : A , B / AB.

La définition de la limite peut alors s'écrire de façon équivalente, avec base de :

VV , B / f(B) V    (d2)

Il est clair que (d2) implique (d1) : choisir A = B. (d1) implique (d2) car si B A, alors f(B)f(A).


1. Si B est une base de F, Montrer que toute intersection de deux éléments de contient un élément de .
2. Montrer que l'ensemble des Bk = {nN / n > k} est une base du filtre F de Fréchet (défini ci-dessus).
3. Dans R, Montrer que l'ensemble des Vh(x) = ]x - h, x + h[ \ {x}, c'est à dire Vh(x) privé de x, est une base
du filtre (x) des voisinages d'un réel x.

Limite suivant un filtre :       

Soit E un ensemble non vide muni d'un filtre , X un espace topologique et L un élément de X. On note (L) le filtre des voisinages de L dans X. On dit qu'une fonction f de E vers X admet une limite L suivant le filtre pour exprimer que :

V(L) , A / f(A) V      (d1)

La définition d'une fonction numérique f admettant une limite L finie lorsque x tend vers +, peut s'écrire, suivant le filtre = {]a,+[, aR} :

V(L) , V / f(V) Vh(L)

Ultrafiltre     

On peut définir un ordre sur les filtres d'un ensemble E au moyen de l'inclusion : on dira qu'un filtre ' est plus fin qu'un filtre pour exprimer que '. On dit aussi que est moins fin que '. Cette dernière locution exprime un ordre sur l'ensemble des filtres de E. Le plus petit élément au sens de cet ordre est E lui-même.

On appelle ultrafiltre sur E tout élément maximal U de l'ensemble ordonné des filtres sur E. Autrement dit, il n'existe pas de filtre sur E plus fin que U.


Soit aE. Montrer que l'ensemble des parties de E qui contiennent a est un ultrafiltre sur E.

Quelques propriétés des ultrafiltres :    

  1. Tout filtre sur E est l'intersection des ultrafiltres plus fins que lui.

  2. Tout filtre sur E tel que pour toute partie A de E, A ou  bien A est un ultrafiltre.
  3. Si U est un ultrafiltre sur E et si A et B sont deux parties de E dont la réunion est élément de U, alors l'une au moins des parties A et B est élément de U. Ce résultat se généralise à une réunion finie de parties de E.

Théorème de Tikhonov :


Pour en savoir plus :

  1. Hommage à Henri Cartan (sur le site de la SMF) : par Michel Demazure,  par Michèle Audin (IRMA, Stasbourg)
  2. Un article de Jean Cerf : http://www.math.cnrs.fr/imagesdesmaths/pdf2006/Cerf.pdf
  3. Henri Cartan. Le Fondateur de l’Association européenne des enseignants : http://www.aede-france.org/medias/pdf/HenriCartan.pdf
  4. Nombreuses publications d'Henri Cartan numérisées sur le site NUMDAM :
    ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE, TOPOLOGIE GÉNÉRALE, Ch 1, §6, N. Bourbaki - Éd. Hermann.
  5. LA TOPOLOGIE, André Delachet - Presses Universitaires de France - Que sais-je? - 1978.
  6. Nombreux articles de Henri Cartan numérisés sur Numdam :
    http://www.numdam.org/numdam-bin/recherche?h=aur&aur=Cartan,+Henri&format=short
  7. Articles du séminaire Henri Cartan numérisés sur Numdam : http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?j=shc


Von Neumann  Dubreil
© Serge Mehl - www.chronomath.com