ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 LUZIN (Louzin, Louzine) Nikolaï Nikolaievitch,
russe, 1883-1950 |
Nikolaï Luzin
(Лyzин : Louzine car, en russe, le "y" se prononce "ou" et le
"n" final" n'est pas muet)
fit ses études à l'université de Moscou sous la
direction de son compatriote Dimitri Egorov (1869-1931), tous deux considérés
comme représentatifs de la florissante École mathématique de Moscou en ce
début de 20è siècle.
Luzin séjourna à Göttingen (1910) où il rencontra Landau. Durant toute sa carrière (dès 1914), il enseignera à l'université Lomonosov de Moscou où il dirigea, dans les premières années du 20è siècle, les études de futurs grands mathématiciens russes de réputation internationale.
Parmi
ses étudiants, on peut citer Alexandrov,
Souslin, Uryson,
Kolmogorov, Khintchin,
Alexeï Lyapunov,
Shnirelman, Piotr Novikov (1901-1975) et son épouse
Lyudmila Keldysh dont le fils
Sergueï sera lauréat d'une des quatre
médailles Fields 1970
i Mikhaïl Vasilievich Lomonosov (1711-1765), savant russe, écrivain, astronome et chimiste. Ci-contre, l'Université Lomonosov de Moscou (lien externe en cliquant sur l'image).
Les travaux de Luzin portèrent sur la théorie des fonctions numériques, les équations différentielles, les variétés analytiques, la théorie de la mesure (avec le polonais W. Sierpinski et son élève Souslin), la classification des ensembles (1920), à Paris, suite aux travaux de Borel et Baire sur le sujet). Luzin fut élu à l'Académie des sciences de l'URSS (1927).
Ensembles analytiques, espace de Luzin et de Souslin : » Souslin
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Un théorème de Luzin (fonctions mesurables) : |
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f : R →R est mesurable au sens de Lebesgue |
⇔ |
Pour tout compact K de R et tout ε > 0, il existe une fonction continue h coïncidant avec f sur K |
On voit ainsi, comme le remarque P. Deheuvels (L'intégrale, Que sais-je ? n° 2250, P.U.F.), qu'une fonction mesurable est "voisine" d'une fonction continue. A titre de comparaison :
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f : R →R est intégrable au sens de Riemann |
⇔ |
f est bornée et à support compact et l'ensemble de ses points de discontinuité est de mesure nulle |
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Conditions (N) de Luzin et (S) de Banach : |
On dit qu'une fonction numérique f continue sur un intervalle J de R vérifie la condition (N), N comme Nikolaï, pour exprimer que :
Pour tout J⊂I, λ(J) = 0 ⇒ λ[f(J)] = 0, λ désignant la mesure de Lebesgue.
On démontre que si f et g vérifient la condition (N), alors il en est de même de f o g.
Stephan Banach introduisit ultérieurement sa condition (S), S comme Stephan :
∀ ε > 0, ∃ h > 0, λ(J) < h ⇒ λ[f(J)] < ε
et a montré que si f vérifie la condition (N), alors pour tout y de f(J), f-1({y}) est dénombrable.
Denjoy