ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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LUZIN (Louzin, Louzine) Nikolaï Nikolaievitch, russe, 1883-1950

Luzin (Лyzин : Louzine car, en russe, le "y" se prononce "ou" et le "n" final" n'est pas muet) fit ses études à l'université de Moscou sous la direction de son compatriote Dimitri Egorov (1869-1931), tous deux considérés comme représentatifs de la florissante École mathématique de Moscou en ce début de 20è siècle.

Luzin séjourna à Göttingen (1910) où il rencontra Landau. Durant toute sa carrière (dès 1914), il enseignera à l'université Lomonosov de Moscou où il  dirigea, dans les premières années du 20è siècle, les études de futurs grands mathématiciens russes comme Alexandrov, Souslin, Uryson, de l'algébriste Pyotr Novikov (1901-1975), Kolmogorov.

Ses travaux portèrent sur la théorie des fonctions numériques, les équations différentielles, les variétés analytiques, la théorie de la mesure (avec le polonais W. Sierpinski et son élève Souslin), la classification des ensembles (1920, à Paris, suite aux travaux de Borel et Baire sur le sujet). Luzin fut élu à l'Académie des sciences de l'URSS (1927).

Mikhaïl Vasilievich Lomonosov (1711-1765), savant russe, écrivain, astronome et chimiste. Ci-dessus, à droite, l'Université Lomonosov de Moscou (site externe).

Ensembles analytiques, espace de Luzin et de Souslin : Souslin

Un théorème de Luzin (fonctions mesurables) :

 

f : R R est mesurable au sens de Lebesgue

  

Pour tout compact K de R et tout e > 0, il existe une fonction continue h coïncidant avec f sur K

On voit ainsi, comme le remarque P. Deheuvels (L'intégrale, Que sais-je ? n° 2250, P.U.F.), qu'une fonction mesurable est "voisine" d'une fonction continue. A titre de comparaison :

f : R R est intégrable au sens de Riemann

 

f est bornée et à support compact et l'ensemble de ses points de discontinuité est de mesure nulle

Conditions (N) de Luzin et (S) de Banach :

On dit qu'une fonction numérique f continue sur un intervalle J de R vérifie la condition (N), N comme Nikolaï, pour exprimer que :

Pour tout JI, l(J) = 0 l[f(J)] = 0,   l désignant la mesure de Lebesgue.

On démontre que si f et g vérifient la condition (N), alors il en est de même de f o g.

Stephan Banach introduisit ultérieurement sa condition (S), S comme Stephan :

e > 0, h > 0, l(J) < h l[f(J)] < e

et a montré que si f vérifie la condition (N), alors pour tout y de f(J), f-1({y}) est dénombrable.


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