ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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inversion géométrique #2 et inversion complexe z ' = 1/z   niveau Sup/TD TerS        »  #1 | #3 | » construction de Napoléon

On considère dans un plan (P) muni d'un repère orthonormé d'origine O, une inversion géométrique f de pôle O, de puissance k, qui à tout point M(x,y) autre que O, associe le point M'(x',y'). On a donc, par définition :

OM . OM' = k

1°/ Montrer que l'expression analytique de f dans ce repère est :

x' = kx/(x² + y²)  ,  y' = ky/(x² + y²)

2°/ Eu égard à la définition de f, on peut échanger les rôles de M et M' : f est une bijection involutive de P-{O} (identique à sa réciproque). Retrouver analytiquement que f est involutive.

 ➔  L'inversion est une transformation birationnelle; on dit aussi crémonienne en hommage au mathématicien italien Cremona qui les étudia dans le cadre de la géométrie algébrique.

3°/ On se place dans le plan complexe. On pose z = x + iy, z' = x' + iy'. Montrer que l'inversion de pôle O, de rapport 1 se traduit par la transformation z → z' = z/|z²|.

4°) On pose :

      a, b, c et d réels, avec c et ad - bc non nul             »  Chasles , Möbius

Exprimer z' = T(z) = x' + y' en fonction de x et y lorsque a = 0, c = 1, d = 0. Préciser la nature de cette transformation. On pourra appeler H l'homothétie de centre O de rapport b,  I l'inversion géométrique de centre O de rapport 1, S la symétrie axiale par rapport à (x'x).

5°)  Inversion complexe :    

On note J la transformation z → z' = 1/z (inverse de z), exprimer  J en fonction de I et S.

6°) On reprend le cas général de 4°. Décomposer T au moyen de transformations "usuelles" dont l'inversion complexe.

7°) Justifier cette construction géométrique de l'image M' de M :

Voici la même figure générée par Cabri Géomètre dans sa version CabriJava pour Internet  :

Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Vous pouvez déplacer M. Si vous agrandissez le cercle (point 1), veillez à agrandir les unités en déplaçant la graduation en x.

1°/ Les points O, M et M' étant alignés, on a, vectoriellement, OM' = α.OM, avec α réel, non nul par définition de f. Sur l'axe (OM), on a donc OM' = α.OM. On reporte dans la définition de f : α(x² + y²) = k. On en déduit :

x' = kx/(x² + y²)  ,  y' = ky/(x² + y²)

2°/ On a x'² + y'² = k²/(x² + y²) , x = x'(x² + y²)/k  , y = y'(x² + y²)/k. Donc x = kx'/(x'² + y'²)  ,  y = ky'/(x'² + y'²) : f est involutive.

3°) z' = z/|z|², soit z' = x' + iy' = (x + iy)/(x² + y²), d'où :

x' = x/(x² + y²)  ,  y' = y/(x² + y²)

Selon 1°/, il s'agit de l'inversion de pôle O de puissance 1.

4°) On a ici : z' = T(z) = b/z = bz/|z|², soit x' + iy' = b(x - iy)/(x² + y²), ou encore :

x' = bx/(x² + y²)  ,  y' = -by/(x² + y²)

T est donc la composée S o H o I où I est l'inversion de pôle O de puissance 1, c'est à dire z → z/|z|², H est l'homothétie de centre O de rapport b (z → bz) et S la symétrie axiale d'axe x'x (z → z : passage au conjugué).

Remarquer que b étant réel, on peut commuter S et H :

(S o H)(z) = S(bz) = bz = bz =H(z) = (H o S)(z)

5°) z' = J(z) = 1/z = z/|z|² (inverse de z). On est dans le cas précédent avec b = 1 :  H est l'application identique z → z. D'où J = S o I. Et c'est aussi I o S puisque z et z ont le même conjugué :

(S o I)(z) = J(z) =  z/|z|²   = z/| z |² = I(z) = (I o S)(z)

 !  Cet exercice nous rappelle que l'inversion complexe (z → 1/z = z/|z|²) ne doit pas être confondue avec l'inversion géométrique (z → z/|z|² , de centre O de puissance 1). D'ailleurs par inversion complexe, les points O, M et M', image de M, ne sont généralement pas alignés !

Tout comme pour les similitudes directes (z' = az + b) et indirectes (z' = az +b), on peut qualifier la transformation z' = 1/z = z/| z |²  d'inversion indirecte de pôle O de puissance 1.

6°) En divisant az + b par cs + d, on a z' = a/c + (b - ad/c)/(cz + d). Posons a' = a/c et b' = b - ad/c.
Il vient alors z' = a' + b'/(cz + d) et on peut donc écrire :

z → cz + d → 1/(cz + d) → b'/(cz + d) → a' + b'/(cz + d)

Soit s : z → cz + d, i : z → 1/z (inversion complexe), h l'homothétie de centre O de rapport b' et t : z → a' + z (translation). Selon la décomposition obtenue ci-dessus, on a :

T = t o h o i o s

7°) C'est trop facile !