ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

inversion géométrique (plane) et inversion complexe z ' = 1/z    
       niveau Sup ou TD niveau TerS          
 inverse d'un cercle , autre exemple plus complexe...

On considère dans un plan (P) muni d'un repère orthonormé d'origine O, une inversion géométrique f de pôle O, de puissance k, qui à tout point M(x,y) autre que O, associe le point M'(x',y'). On a donc, par définition :

OM . OM' = k

1°/ Montrer que l'expression analytique de f dans ce repère est :

x' = kx/(x2 + y2)  ,  y' = ky/(x2 + y2)

2°/ Par définition de f, on peut échanger les rôles de M et M' : f est bijection involutive de P-{O} ((bijection identique à sa réciproque). Retrouver analytiquement que f est involutive.

L'inversion est une transformation birationnelle; on dit aussi crémonienne en hommage au mathématicien italien Cremona qui les étudia dans le cadre de la géométrie algébrique.

3°/ On se place dans le plan complexe. On pose z = x + iy, z' = x' + iy'. Montrer que l'inversion de pôle O, de rapport 1 se traduit par la transformation z z' = z/|z2|.

4°) On pose :

      a, b, c et d réels, avec c et ad - bc non nul                 Möbius

Exprimer z' = T(z) = x' + y' en fonction de x et y lorsque a = 0, c = 1, d = 0. Préciser la nature de cette transformation. On pourra appeler H l'homothétie de centre O de rapport b,  I l'inversion géométrique de centre O de rapport 1, S la symétrie axiale par rapport à (x'x).

5°)  Inversion complexe :    

On note J la transformation z 1/z (inverse de z), exprimer  J en fonction de I et S.

6°) On reprend le cas général de 4°. Décomposer T au moyen de transformations "usuelles" dont l'inversion complexe.

7°) Justifier cette construction géométrique de z' = 1/z :

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1°/ Les points O, M et M' étant alignés, on a, vectoriellement, OM' = α.OM, avec α réel, non nul par définition de f. Sur l'axe (OM), on a donc OM' = α.OM. On reporte dans la définition de f : α(x2 + y2) = k. On en déduit :

x' = kx/(x2 + y2)  ,  y' = ky/(x2 + y2)

2°/ On a x'2 + y'2 = k2/(x2 + y2) , x = x'(x2 + y2)/k  , y = y'(x2 + y2)/k. Donc x = kx'/(x'2 + y'2)  ,  y = ky'/(x'2 + y'2) : f est involutive.

3°) z' = z/|z|2, soit z' = x' + iy' = (x + iy)/(x2 + y2), d'où :

x' = x/(x2 + y2)  ,  y' = y/(x2 + y2)

Selon 1°/, il s'agit de l'inversion de pôle O de puissance 1.

4°) On a ici : z' = T(z) = b/z = bz/|z|2, soit x' + iy' = b(x - iy)/(x2 + y2), ou encore :

x' = bx/(x2 + y2)  ,  y' = -by/(x2 + y2)

T est donc la composée S o H o I où I est l'inversion de pôle O de puissance 1, c'est à dire z z/|z|2, H est l'homothétie de centre O de rapport b (z bz) et S la symétrie axiale d'axe x'x (z z : passage au conjugué).

Remarquer que b étant réel, on peut commuter S et H :

(S o H)(z) = S(bz) = bz = bz =H(z) = (H o S)(z)

5°) z' = J(z) = 1/z = z/|z|2 (inverse de z). On est dans le cas précédent avec b = 1 :  H est l'application identique z z. D'où J = S o I. Et c'est aussi I o S puisque z et z ont le même conjugué :

(S o I)(z) = J(z) =  z/|z|2   = z/| z |2 = I(z) = (I o S)(z)

Cet exercice nous rappelle que l'inversion complexe (z 1/z = z/|z|2) ne doit pas être confondue avec l'inversion géométrique (z z/|z|2 , de centre O de puissance 1). D'ailleurs par inversion complexe, les points O, M et M', image de M, ne sont généralement pas alignés !

Tout comme pour les similitudes directes (z' = az + b) et indirectes (z' = az +b), on peut qualifier la transformation z' = 1/z = z/| z |d'inversion indirecte de pôle O de puissance 1.

6°) En divisant az + b par cs + d, on a z' = a/c + (b - ad/c)/(cz + d). Posons a' = a/c et b' = b - ad/c.
Il vient alors z' = a' + b'/(cz + d) et on peut donc écrire :

z cz + d   1/(cz + d) b'/(cz + d) a' + b'/(cz + d)

Soit s la similitude directe z cz + d, i l'inversion complexe z 1/z, h l'homothétie de centre O de rapport b' et t la translation z a' + z. Selon la décomposition obtenue ci-dessus, on a :

T = t o h o i o s

7°) C'est trop facile !


© Serge Mehl - www.chronomath.com