ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

inversion géométrique (plane) #1     TD niveau TerS        
      
 #2 (étude analytique générale) | #3 (étude d'un cas particulier dans le plan complexe) | construction de Napoléon

Requis :  puissance d'un point par rapport à un cercle | condition de cocyclicité

On considère une inversion de pôle O, de puissance k > 0, et une droite (d) ne passant pas par O.
Soit H la projection orthogonale de O sur (d).

1°/ Montrer que l'image de (d) par cette inversion est un cercle de diamètre [OH'] où H' désigne l'image de H.

2°/ Énoncer et prouver une réciproque. On pourra faire intervenir un point courant M de la droite ainsi que son image M'

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Solution :

 Soit M un point quelconque de D et M' son image par l'inversion considérée. On a OM.OM' = OH.OH' et par conséquent les points M', M, H et H' sont cocycliques :

Mais l'angle ^MHH' est droit; il en est donc de même de ^MM'H'. C'est une condition nécessaire et suffisante pour que M' décrive le cercle de diamètre [OH'] privé de O (O est "obtenu" en tant que cas limite, lorsque M s'éloigne infiniment de H).

 On a considéré ici que la puissance k d'inversion est positive. Le cas négatif se traiterait de même vu que l'égalité des produits ci-dessus est vraie en mesure algébrique.

Inversement :    

L'inversion de pôle O est une transformation involutive du plan (privé de O) sur lui-même, c'est à dire une bijection f coïncidant avec sa réciproque f-1. On peut donc énoncer :

L'inverse d'une cercle passant par le pôle d'inversion est une droite parallèle à la tangente en O au cercle
(et passant par un point A' image par cette inversion d'un point A quelconque autre que O).


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