ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

GULDIN Paul, suisse, 1577-1643

Issu d'une famille juive, Habakuk Guldin fut élevé dans le protestantisme avant de se convertir au catholicisme et prendre le prénom de Paul. Orfèvre de formation, il entre dans la compagnie de Jésus et découvre les mathématiques. Guldin enseigna à Rome et en l'université de Graz (Autriche), nouvellement fondée (elle vit le jour en 1586).

Il est principalement connu pour ses formules relatives aux calculs d'aires et de volumes dans son traité Centrobaryca seu de Centro gravitatis (1635/1640), où il fait intervenir le centre de gravité. C'est à Cavalieri que l'on devra la démonstration de ces énoncés. A noter que Pappus d'Alexandrie avait énoncé le premier théorème énoncé ci-dessous treize siècles auparavant.

Deux théorèmes de Guldin :

V = 2πAGH , où H est le projeté orthogonal de G sur Δ

En d'autres termes :

le volume engendré par D est égal au produit de son aire par la longueur du cercle décrit par son centre de gravité.

Calcul de la position du centre de gravité d'un solide :

A = 2πGHL, où H est le projeté orthogonal de G sur Δ

 Par exemple, l'aire du tore engendré par la rotation d'un cercle (c) de rayon r dont le centre est situé à la distance a de l'axe (Δ) est 4π2ra.
Son volume est
2aπ2r2.

Volume de révolution, cas de la pyramide, du cône, de la sphère :



a) Montrer, en utilisant le premier théorème de Guldin que le centre de gravité d'un demi disque de rayon R est situé
sur son axe de symétrie à la distance d = 4R / 3
π de son centre.  méthode par intégration
on utilisera le fait que le volume engendré est ici une boule de volume 4/3πR3 = 2π x πR2/2 x d
a) Montrer, en utilisant le second théorème de Guldin que le centre de gravité d'un demi cercle de rayon R est situé
sur son axe de symétrie à la distance 2R /
π de son centre.
l'aire engendrée est ici une sphère d'aire 4πR2 = 2πd x πR
c) Calculer le volume V engendré par la rotation d'une demi arche de sinusoïde sur l'intervalle [0,π/2]. Rép : V = π2/4
En déduire que l'ordonnée du centre de gravité de la surface délimitée par cette demi arche est égale à 
π/8.

Archimède et centre de gravité :


Oughtred  Bachet
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