ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Similitudes dans le plan complexe
    
similitudes (étude géométrique) , isométries isométries usuelles , déplacements & antidéplacements

Rappelons qu'en géométrie, on appelle similitude la composée d'une isométrie et d'une homothétie. On pourra consulter à ce sujet la page sur les applications affines dont la plus grand partie est désormais hors programme des classes de lycée.

au niveau de la classe de Terminale S, l'introduction des nombres complexes facilite l'étude des éléments caractéristiques de cette transformation géométrique fondamentale qui peut être une translation, une symétrie ou une homothétie.

Plaçons-nous dans le plan complexe. Soit z = x + iy un nombre complexe d'image M(x,y) et s la transformation qui à z fait correspondre z' = x' + iy', d'image M'(x',y'), selon les deux cas suivants. Deux cas se présentent : les similitudes directes et les similitudes indirectes.

Similitudes directes :

M' = s(M) z' = az + b , a et b complexes, a distinct de 1

En posant b = m + in, on constate que le cas a = 1 correspond à une translation de vecteur b(m,n) car on a alors x' = x + m, y' = y + n. C'est une isométrie particulière, cas trivial de similitude.

Si a n'est pas égal à 1, la transformation possède un unique point invariant Ω appelé centre de la similitude d'affixe ω défini par ω = aω + b, soit ω = b/(1 - a). Avec Ω, comme origine, on se ramène alors à la forme z' - ω = a(z - ω), soit Z' = aZ. Il est alors immédiat que :

Si a est réel non nul, distinct de 1, on est en présence d'une homothétie.
Si a = -1, il s'agira d'une symétrie centrale.


Vérifier ce dernier résultat en étudiant les transformations z' =-z + 1 - i   et z' = 2z - 3i.
Rép : symétrie de centre A(1/2;-1/2) et homothétie de centre B(0;-3), de rapport 2

Dans toute la suite de ce cas "direct", on supposera a non réel. Le module k = |a| du nombre complexe a définit le rapport de la similitude, son argument fournit l'angle de la similitude. Si |a| = 1, a 1, on a affaire à une rotation.


Vérifier ce dernier résultat en étudiant la transformation z' =iz + 1 - i
Rép : rotation de centre A(1;0), d'angle π/2.

L'origine étant rapportée à Ω, en posant a = |a|.e, la similitude s'interprète comme la composée commutative d'une homothétie de rapport |a| et d'une rotation d'angle θ.

 Si l'on conserve O comme origine, C'est aussi la composée commutative d'une homothétie de rapport |a| et d'une rotation d'angle θ (toutes deux de centre O) suivie d'une translation de vecteur b.


Vérifier ce résultat sur un schéma lorsque z' = iz + 1 - i   choisir 2cm comme unité et M d'affixe 2 + i

Expression analytique d'une similitude directe :

Ainsi exprimée, une similitude directe apparaît comme une application affine dont la matrice de l'endomorphisme associé φ = kρ, ρ désignant une rotation vectorielle (éventuellement l'application identique) est de la forme :

où k2 =  α2 + β2 est son déterminant. Si k = 1, φ est une matrice de rotation ρ dont on peut calculer l'angle par cosθ = α et sinθ = β.

Calcul matriciel :

Similitude indirecte :

Dans le plan complexe, une similitude indirecte peut se définir par :

M' = s(M) z' = z' = az , a et b complexes

Si |a| 1, le centre Ω de la similitude est le point invariant d'affixe ω défini par ω = aω + b, soit ω = aω + b et finalement

ω = (ab +b)/(1 - |a|2)

Avec Ω, comme origine, on se ramène alors à la forme z' - ω = a(z - ω), soit Z' = aZ. Dans le plan complexe, la transformation géométrique correspondant à z' = z est la symétrie d'axe (Ox).

La similitude indirecte s'interprète alors comme la composée (non commutative) de la symétrie d'axe (Ωx'), axe parallèle à (Ox) passant par Ω, suivie de la similitude directe Z' = aZ de centre Ω.

Si |a| = 1, on est en présence d'un antidéplacement.

  • Si ab + b = 0, il existe une droite de points invariants, auquel cas la similitude s est involutive (s o s = id) : c'est une symétrie axiale que l'on  pourra caractériser en calculant z' - z.

  • Si ab + b 0, il n'y a aucun point invariant. On pourra toujours décomposer la similitude en :

zz az az +b   : symétrie/Ox suivie d'une similitude directe et d'une translation.

Il s'agit en fait d'une symétrie glissée pouvant s'écrire sous la forme S o T = T o S, composé commutatif d'une symétrie axiale et d'une translation.

Expression analytique d'une similitude indirecte :

Ainsi exprimée, une similitude indirecte apparaît comme une application affine dont la matrice de l'endomorphisme associé φ = k, désignant une symétrie vectorielle, est de la forme :

 où k2 =  α2 + β2 est son déterminant. Si k = 1, est une matrice de symétrie orthogonale.

Calcul matriciel :


1. Vérifier que le cas z' = z + i s'interprète comme une symétrie axiale que l'on précisera.

2. a) Donner une caractérisation géométrique de la transformation T : z z' = iz     
Rép: symétrie d'axe [y = x].
b) Montrer que T = R o S où R est une rotation de centre O et S une transformation élémentaire que l'on précisera. Que dire de S o R ?

Rép: il suffit d'écrire T : z z  (symétrie d'axe x'x) iz (rotation de centre O, d'angle π/2). Et S o R ?  trop facile...

3) Soit Σ : z z' = 2iz -3i. Montrer que Σ s'interprète comme une similitude indirecte. Préciser le centre, le rapport et la décomposition commutative.

Rép: Centre : Ω(2,1); On choisit Ω comme nouvelle origine : Z' = 2iZ. Rapport 2.
Σ = H o S = S o H, H est l'homothétie de centre Ω, de rapport 2 et S symétrie axiale d'axe [Y = X] dans le repère d'origine Ω, c'est à dire
la droite d'équation y = x - 1 dans le repère d'origine O.

Expression complexe d'une symétrie axiale, d'une projection orthogonale


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