ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

L'équation du 4ème degré selon Ferrari     Utiliser le programme JavaScript

Soit l'équation d'inconnue x, à coefficients réels, a non nul :

Divisons par a et posons x = X - b/4a . Le terme en x³ disparaît et (e) se ramène alors à la forme équivalente :

avec A = -3b²/8a² + c/a , B = (b/2)³/a³ - ½bc/a² + d/a , C = -3(ab/4)⁴ + c(b/4)²/a³ - ¼bd/a² + e/a.

• Si B = 0, on se ramène au second degré en posant X² = Y (forme X⁴ + AX² + C = 0 : équation bicarrée).

• Supposons B non nul. On peut avoir l'idée de faire apparaître un carré en considérant X⁴ + AX² comme le début du carré de X² + A/2, mais cela ne conduit à rien. Maintenons cependant cette idée en introduisant une inconnue auxiliaire u en calculant (X² + u/2)² = X⁴ + uX² + u²/4, ce qui permet d'écrire :

  (e2) :      (X² + u/2 )² = (u - A)X² - BX + u²/4 - C

  équivalente à (e1) pour toute valeur de u.

• On impose les conditions u A et on force D = 0, où D est le discriminant de l'équation en X du second membre, ce qui conduit à une équation du 3ème degré, dite équation résolvante :

  (e3) :     u³ - Au² - 4Cu + 4AC - B² = 0

  équation du 3e degré que l'on sait résoudre selon la formule de Cardan.

  on note que l'égalité u = A ne peut avoir lieu car cela impliquerait, dans (e3), B = 0 : ce qui n'est pas le cas.
   

• (e2) devient équivalente à :

où z désigne la solution double du second membre de (e2) correspondant à une racine réelle u > A de (e3), à savoir :

Il existe au moins une racine u de la sorte car d'une part, l'image de A par le polynôme p du premier membre de (e3) est p(A) = - B² < 0, d'autre part la limite de p pour u infini est infinie, ce qui prouve que p s'annule sur ]A,+[.

Dans ces conditions, la résolution se ramène à deux équations du second degré. On voit que, dans R, l'équation du quatrième degré possède 0, 2 ou 4 solutions (éventuellement multiples).

En posant x = X + 1/2, on se ramène à : X⁴ + 3X²/2 + 6X - 119/16 = 0, ce qui peut s'écrire :

Introduisons l'inconnue auxiliaire u et réordonnons : (3/2+ 2u)X² - 6X + u² + 3u + 155/16 = 0

Le discriminant de cette équation du second degré en X est : 8u³ + 30u² + 191u/2 + 177/8. On divise par 8, on pose u = t - 5/4, ce qui nous ramène à :

On remarque, sans utiliser la formule de Cardan que t = 1 est une solution évidente. Par suite u = -1/4 annule notre discriminant. Remplaçons u par cette valeur, on obtient :

D'où :

X = -1/2 ± 2

Mais x = X + 1/2, donc deux solutions de l'équation sont x = 2 et x = - 2 . L'équation (e) est donc divisible par x² - 2. On obtient :

(x² - x + 1)( x² - 2)

Le premier facteur est du second degré, son discriminant est négatif. (e) ne possède que les deux solutions x = ± 2 .

L'équation initiale a donc été résolue algébriquement. Cela est satisfaisant pour l'esprit. Mais sur le plan pratique, une bonne résolution par la méthode des tangentes de Newton, en ayant préalablement séparé les racines, est plus rapide et sans doute aussi efficace...

De plus, la méthode compliquera souvent les calculs alors que l'observation calme et sereine de l'équation conduira à une solution simple... Par exemple : x⁴ - 2x³ + 3x² - 2 = 0 !

L'algorithme est facilement programmable, avec l'usage, en tant que sous-programme pour le calcul de u, du programme résolvant l'équation du troisième degré. Les équations bicarrées sont reconnues. Le programme demandera les coefficients et calculera les éléments nécessaires à l'obtention d'une solution en affichant :

• la forme réduite de l'équation;
• l'équation résolvante du 3ème degré en u;
• les paramètres z et u - A;
• les solutions.