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L'équation du 3ème degré selon Viète

François Viète résolut les équations du troisième degré de la forme :

x3+ ax = b

où a et b sont des nombres positifs. Les solutions cherchées sont positives. D'ailleurs, eu égard à la positivité de a et b, comme on le constate à gauche dans le cas a = 2 et b = -8, il n'existe, pour ce type d'équation, qu'une seule solution positive : l'équation équivaut à la recherche de l'intersection de deux courbes : la cubique bien connue y = x3 et la droite y = -ax + b. On constate qu'il existe un unique point de rencontre d'abscisse positive :

En posant :

l'équation se ramène à X6 + bX3 - a3/27 = 0. Posons maintenant Y = X3. On se ramène à l'équation du second degré en Y :

Y2 + bY - a3/27 = 0

Le discriminant est Δ = b2 + 4a3/27 > 0. Le produit des racines -a3/27 étant négatif, une des deux racines en Y est négative, on la rejette car elle exprimerait une solution X négative qu'on se refuse d'admettre à cette époque. La valeur positive de Y fournit X3, donc X et enfin x.

Remarque :        

En évinçant la racine négative parmi les deux valeurs de X, ne risque-t-on pas de "passer à côté" de la solution x cherchée ? Autrement dit, cette racine négative peut-elle fournir la solution ?

On trouve en fait la même valeur !            

En effet, la résolution proposée montre que Y'Y" = -a^3/27, donc X'X" = -a/3, c'est à dire tout aussi bien X" = -a/3X' que X' = -a/3X". Par suite si x = a/3X' - X', on a : x = -X" - (-a/3X") = a/3X" - X".

Merci à Françoise Pescatore (Luxembourg) d'avoir remarqué cette propriété dont vous pouvez télécharger la fiche (format pdf) correspondant à l'analyse, sous forme d'exercice, du cas x3 + 2x = 8 illustré graphiquement ci-dessus et conduisant à x 1,670...

L'équation du 3ème degré selon Cardan :


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