ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

MATHIEU Émile Léonard, français, 1835-1890

Brillant élève à Metz, sa ville natale, puis étudiant surdoué, il suit les cours de l'École polytechnique mais ne poursuit pas une carrière militaire. Il se consacre à la théorie des groupes finis, née de la vaine recherche (mais riche d'apprentissages) d'un algorithme dans la résolution des équations algébriques (Abel, Galois), sur laquelle il soutiendra sa thèse de doctorat (1859). Il sera professeur à la faculté des sciences de Besançon et de Nancy.

Équations et fonctions de Mathieu :

Mathieu s'intéressa aussi à la physique mathématique et donna son nom à des équations différentielles du second ordre dans le champ complexe, dérivées de celles du physicien allemand Ludwig F. von Helmholtz (1821-1894), portant sur des phénomènes ondulatoires et permettant une résolution partielle de celles-ci :


En posant cos z = t, vérifier que l'on a dy/dz = - dy/dtsinz, puis d2y/dz2 = - d2y/dt2dt/dz - dy/dtt.
En déduire une expression algébrique de l'équation de Mathieu : (1 - t2)y" +ty' - (α - β + 2βt2)y = 0

Les fonctions de Mathieu sont une classe de solutions liées à ces équations et à celle -semblable- de George William Hill, astronome américain (1838 - 1914), spécialiste de mécanique céleste, qui étudia les perturbations dans le mouvement de la Lune.

Groupes simples, semi-simples, groupes composés, groupes sporadiques de Mathieu :

Un groupe G d'élément neutre e est dit simple si ses seuls sous-groupes distingués (sous-groupes normaux) sont G lui-même et le groupe trivial {e}. Dans le cas contraire, on dira que G est composé. On parle aujourd'hui de groupes semi-simples pour caractériser l'absence de sous-groupe distingué commutatif.

Les groupes simples sont aux groupes ce que sont les nombres premiers aux entiers naturels : indécomposables. C'est dire que leur rôle est très important dans l'étude et la compréhension des structures algébriques, voire géométriques (groupes de transformations).

Klein , Tits , Jordan

  Les groupes cycliques (groupes monogènes finis) d'ordre premier sont simples car l'ordre d'un sous-groupe est un diviseur de l'ordre du groupe ( théorème de Lagrange-Cayley). Ce sont des groupes commutatifs et tout groupe simple commutatif est cyclique.

Le plus petit groupe simple non commutatif est isomorphe à A5 (groupe alterné). Il possède 60 termes (soit 5!/2). C'est Kronecker qui sera le premier à en découvrir un autre dans l'étude des solutions des équations du 7è degré : 168 éléments.

Après Galois, les travaux sur la caractérisation des groupes simples furent sujet à d'importantes recherches avec l'étude des groupes finis résolubles, initiée par Jordan et sur laquelle se pencha tout particulièrement Artin à qui l'on doit l'appellation.

La classification des groupes finis simples :   

Envisagée par Burnside au tout début du 20è siècle, ce n'est qu'en 1982, avec en particulier Feit, Thompson, Conway, Daniel Gorenstein et l'aide de la communauté mathématique des plus grands algébristes, assistée par les plus puissants ordinateurs, que la classification des groupes finis simples fut déclarée achevée.

 Daniel Gorenstein, mathématicien américain, 1923-1992. Il étudia à l'université de Harvard et obtint son doctorat en 1950 sous la direction de Zariski. Pour plus d'infos, on pourra consulter la page wikipedia (en) qui lui est consacrée.

Cette classification est le fruit de plusieurs décennies de recherche depuis la mise en évidence du premier groupe sporadique noté M12, découvert par Mathieu (1864) en étudiant des permutations, dites distributives, sur un ensemble d'un type particulier. Il possède possède 26 x 33 x 5 x 11 = 95040 éléments. C'est à Burnside que l'on doit cette qualification de sporadique, ce groupe s'avérant appartenir à une catégorie pathologique. Trois autres groupes sporadiques furent découverts par Mathieu entre 1864 et 1873. On en dénombre aujourd'hui 26.

Les catégories non pathologiques de groupes simples finis sont :

Groupes finis, monogènes, cycliques, alternés, ... :

 Le plus "gros" groupe sporadique est le monstre de Fischer (du nom du mathématicien Bernd Fischer qui soupçonna son existence en 1973) qui fut exhibé en tant que groupe de transformations géométriques dans un espace abstrait (Robert Louis Griess, 1980). Il a exactement :

246 x 320 x 59 x 76 x 112 x 133 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 41 x 47 x 59 x 71 éléments

soit environ 8 x 1053 éléments.

  Burnside , Feit & Thompson , Conway
 

 Pour en savoir plus :


Beltrami  Meray
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