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à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Homomorphismes de structures algébriques
    » Transfert de structure | Homomorphismes d'ensembles ordonnés

 !  Cette page nécessite la connaissance du vocabulaire et des propriétés des lois de composition ainsi  que des structures algébriques usuelles.

1a/  Si (E,∗) et (F,•) sont deux magmas (ensembles munis d'une loi de composition interne), une application f de E dans F est un homomorphisme de (E,∗) dans (F, •) lorsque :

∀ (a,b)∈E ×E : f(a∗b) = f(a) •f(b)

1b/  Si (E,∗) et (F,•) sont deux groupes, la définition est la même, sans plus de condition, et on parle généralement de morphisme de groupe.

 ➔  D'une façon générale, on parle souvent aujourd'hui de morphisme plutôt que d'homomorphisme, mot issu du grec homoios = semblable et morphê = forme. C'est un peu dommage eu égard à tout l'intérêt de cette notion permettant de transférer une structure vers une autre en lui conférant des propriétés semblables comme on le verra dans cette page. Serait-ce là une dérive du vocabulaire des catégories, d'origine plus récente.

2/  Si • et •• désignent deux lois de composition externes (» lois de composition | espaces vectoriels) de même domaine d'opérateurs K, respectivement définies dans E et F, une application f de E dans F est un homomorphisme de (E,•) dans (F,••) lorsque :

∀ k∈K, ∀ a∈E : f(k•a) = k••f(a)

Dans chacun de ces deux cas, on dit que f respecte les lois de E et F ou que f est compatible avec ces lois : l'image d'un composé dans E est la composée des images dans F.

 !   Parler d'homomorphisme de E dans F n'a pas grand sens puisque l'on ne précise pas sur quelle(s) loi(s) repose cette application

Un homomorphisme bijectif est appelé isomorphisme, du grec isos = égal et morphê = forme. Les structures entrant en jeu sont alors dites isomorphes. Lorsque F = E, un homomorphisme est appelé endomorphisme et s'il est bijectif, on parlera d'automorphisme.

Lorsque E et F possèdent la même structure algébrique (groupe, anneau, corps, module, espace vectoriel, algèbre, ...), une application f de E dans F respectant les lois de la structure (mises correctement, de par leur nature, en correspondance par f) est qualifié de morphisme de structure. Une application linéaire est un morphisme d'espaces vectoriels. L'existence d'un homomorphisme entre deux structures algébriques permet de découvrir des propriétés nouvelles d'une structure image, voire, s'il est bijectif (isomorphisme), d'identifier une structure à une autre (» th.2 et suivants).

L'image f(E) de E par un homomorphisme f est une partie de F stable pour  la (ou les) loi(s) de F. Par exemple, dans le cas de lois internes, on a par définition, pour tous a et b de E : f(a) •f(b) = f(a∗b)∈f(E). On dit que f(E) est l'image homomorphe de E.

Quelques propositions élémentaires mais fondamentales, f désignant un homomorphisme de (E,∗) dans (F, •) :

Proposition 1 :   

L'image homomorphe d'un magma associatif (resp. commutatif) est un magma associatif (resp. commutatif).

Proposition 2 :   

Si n est neutre dans (E,∗), alors f(e) est neutre dans (f(E), •).

 !  Il n'est pas dit dans cette proposition  que f(e) est neutre dans F, donc que f(e) est l'élément neutre de F : (E,∗) et (F, •) étant deux magmas unitaires quelconques, d'éléments neutres respectifs n et n', il n'est en effet pas assuré que f(n) = n'. On a cependant :

∀ a∈E : f(a∗n) = f(a) = f(a) • f(n)   et  f(n∗a) = f(a) = f(n) • f(a)

Par conséquent, f(n) est neutre à gauche et à droite dans f(E), image homomorphe de E par f et la proposition 2 est vérifiée du fait de l'unicité d'un élément neutre pour une loi de composition interne et on peut compléter la proposition 2 par :

Corollaire :     

Si n est neutre dans (E,∗) et n' neutre dans (F,•), on a f(n) = n' dès lors que n' est élément de f(E).
Il en est ainsi lorsque f est surjective, en particulier si f est bijective (isomorphisme).

Proposition 3 :   

Dans le cas d'un morphisme de groupes f : G1→ G2, surjectif ou non, l'image par f de l'élément neutre
de G1 est l'élément neutre de G2.

Preuve : notons e1 et e2 les élément neutres respectifs de (G1,∗) et (G2,•). e1 = e1∗e1; appliquons f à cette égalité : f(e1) = f(e1∗e1) = f(e1)•f(e1). Dans le groupe G2, f(e1) admet un inverse f(e1)-1, on peut alors écrire : f(e1)-1•f(e1) =  f(e1)-1•f(e1)•f(e1), c'est à dire e2 = f(e1).

Proposition 4 :   

Dans le cas général d'un homomorphisme de magmas, si x admet un symétrique x' dans E,
alors f(x') est un symétrique de f(x) dans f(E).

♦  Théorème 1 (transfert de structure pour un groupe) :    

Si (E,∗) est un groupe, son image homomorphe f(E) en est aussi un et f(x-1) = [f(x)]-1
 (l'inverse de f(x) dans f(E) est l'image de l'inverse de x dans E).

En d'autres termes : 

L'image homomorphe d'un groupe (E,∗) dans un magma (F,•) est un groupe pour la loi de F restreinte à f(E).

Preuve : Si e est neutre dans E, f(e)∗f(x) = f(e∗x) = f(x) et f(x)∗f(e) = f(x∗e) = f(x), donc f(e) est neutre dans f(E). Si la loi ∗ est associative, la loi • l'est aussi : f[a∗(b∗c)] = f[(a∗b)∗c], donc f(a) • f(b∗c) = f(a) • [f(b) • f(c)] et c'est aussi f(a∗b) • f(c) = [f(a) • f(b)] • f(c). Enfin si x admet un inverse x-1 dans E, f(x∗x-1) = f(e) = f(x) • f(x-1) et c'est aussi f(x-1) • f(x) : l'inverse dans f(E) de f(x) existe et c'est f(x-1). En d'autres termes [f(x)]-1 = f(x-1).

♦  Théorème 2 (transfert de structure pour un sous-groupe) :    

Dans le cas d'un morphisme de groupes f : G1→ G2, l'image d'un sous-groupe de G1 est un sous-groupe de G2.

♦  Théorème 3.1 (transfert de structure de groupe par image réciproque) :    

G1 et G2 sont deux groupes et h un homomorphisme de G1 dans G2, alors l'image réciproque h-1(S)
d'un sous-groupe S de G2 est un sous-groupe de G1.

Preuve : dire qu'un élément x appartient à h-1(S) signifie que h(x) est un élément de S. Afin de prouver que h-1(S) est un sous-groupe de G1, on utilise le théorème pratique de la page consacrée aux groupes. Notons respectivement ∗ et • les lois de G1 et G2, e1 et e2 leurs éléments neutres. En tant que sous-groupe de G2, S contient e2 et selon la proposition 3, h(e1) est neutre dans G2; on a donc h(e1) = e2∈S par unicité de l'élément neutre. C'est dire que e1∈h-1(S). Considérons Soit maintenant deux éléments x et y de h-1(S) et le composé x∗y', y' désignant le symétrique de y dans G1 : h(x∗y') = h(x)•h(y') = h(x)•h(y)'. Ce dernier composé est un élément du sous-groupe S, donc x∗y'∈h-1(S).

♦  Théorème 3.2 (corollaire : transfert de structure relatif aux sous-groupes distingués) :    

G1 et G2 sont deux groupes et h un homomorphisme de G1 dans G2, alors :
i) l'image réciproque h-1(S) d'un sous-groupe distingué S de G2 est un sous-groupe distingué de G1;
ii) Si h est surjectif, l'image d'un sous-groupe distingué de G1 est un sous-groupe distingué de G2.

Galois et les sous-groupes distingués : »

 ➔   Le théorème 1 se généralise facilement à un anneau, un corps, un module, un espace vectoriel, une algèbre :

♦  Théorème 3 (transfert de structure, cas général) :    

Si E et F sont des structures algébriques munis d'un même nombre de lois de même nature (internes ou externes) mises en correspondance par un homomorphisme f de E dans F, alors l'image homomorphe f(E), muni des lois induites par celles de F, a même structure que E.

 !   Il n'existe généralement pas qu'une seule façon de "transférer" une structure. En particulier, si un homomorphisme de E vers F s'avère non surjectif, on ne doit pas conclure que E et F ont des structures différentes : il peut exister un autre homomorphisme qui, lui, sera surjectif, voire bijectif :

Homomorphismes de structures :

Par la locution homomorphisme de structures, on sous-entend un homomorphisme entre deux structures de même nature (groupes, anneaux, corps, ...). On a vu précédemment qu'un homomorphisme ne respecte pas "toujours" les éléments neutres, ce qui oblige à la prudence... :

1. homomorphisme de groupes :   

Dans le cas où (E,∗) et (F,•) sont deux groupes et f un homomorphisme de (E,∗) dans (F,•), l'image de l'élément neutre de (E,∗) est celui de (F,•), que f soit surjectif ou non.

Preuve : f respecte en effet les éléments neutres du fait que dans un groupe tout élément est régulier (simplifiable) : soit n et n' les éléments neutres respectifs dans les groupes E et F :  f(n∗n) = f(n) puisque n est neutre dans (E,∗) et  f(n∗n) = f(n)•f(n) puisque f est un homomorphisme. On a donc  f(n)•f(n) = f(n) donc f(n) = n' par régularité de n' dans (F,•).

2. homomorphisme d'anneaux :   

Dans le cas des anneaux, il n'est pas assuré que tout élément soit régulier pour la multiplication (seconde loi). Par conséquent, il n'est pas assuré qu'un homomorphisme respecte les éléments unités (» exemple). Il s'agit alors de préciser le langage car pour de nombreux mathématiciens, un anneau est considéré comme unitaire.

Soit (E,+,∗) et (F,⊕,⊗) deux anneaux unitaires ou non, commutatifs ou non. Conformément à la définition générale, un homomorphisme f de (E,+,∗) dans (F,⊕,⊗) est compatible avec les additions et les multiplications de E et F.

On peut définir un homomorphisme d'anneaux f de (E,+,∗) dans (F,⊕,⊗) selon les trois conditions :

1/ f est un homomorphisme de (E,+) dans (F,⊕) : homomorphismes de groupes;
2/ f est un homomorphisme de (E,∗) dans (F,⊗);
3/ Si les anneaux E et F sont unitaires, d'éléments unité respectifs (neutres pour la multiplication) 1E et 1F alors f(1E) = 1F. On peut dans ce cas parler d'homomorphisme d'anneaux unitaires.

3. homomorphisme de corps :   

Un corps étant un anneau dans lequel tout élément non nul est inversible, un homomorphisme de corps est un homomorphisme des anneaux unitaires sous-jacents. On a ce joli résultat dont une preuve utilisant les idéaux est donnée ici.

Théorème 4 :  

Tout homomorphisme de corps est injectif.

Preuve : notons (K,+,×) et (K⊕,⊗) deux corps et f un homomorphisme de K dans K. En tant qu'anneaux unitaires, K et K admettent un élément unité notés respectivement 1 et 1. et on a f(1) = 1. f injective signifie que l'égalité f(a) = f(b) dans K entraîne a = b dans K. Supposons alors f(a) = f(b) et a ≠ b. L'élément a + b', b' désignant le symétrique de b pour l'addition dans K, alias -b en notation additive, est donc non nul et, par suite, inversible dans K; notons c son inverse. Par définition c × (a + b') = 1 et f respectant les multiplications : f(c) ⊗ f(a + b') = 1. Mais f respecte aussi les additions, donc f(a + b') = f(a) + f(b') = f(b) + f(b') = 0 en appliquant la proposition 4. Ce qui conduit à 1 = 0, ce qui est très fâcheux (» éléments neutres d'un corps).

Corollaire :  

Tout homomorphisme de corps surjectif est un isomorphisme.

Théorème 5 :  

Tout anneau unitaire non nul, de caractéristique nulle, est infini

Preuve : faisant usage d'un isomorphisme, cette preuve est proposée en exercice at this page...

Noyau et image d'un homomorphisme de groupes :

G et H désignent ici deux groupes et f un homomorphisme de G dans H. Soit n l'élément neutre de H.


∗∗∗
Vérifier que Ker(f) est un sous-groupe de G et que Im(f) est un sous-groupe de H.

Théorème 3 :   

Le noyau de f est un sous-groupe distingué de G

Preuve : Notons e l'élément neutre de G. n = f(e) est neutre dans f(G). Soit u∈Ker(f) et g∈G :
f(g*u*g-1) = f(g) T f(u) T f(g-1) =  f(g) T n T f(g-1) =  [f(g) T n ] T f(g-1) = f(g) T f(g-1) = f(g*g-1) = f(e) = n : donc g*u*g-1∈Ker(f).

Théorème 4 (théorème d'homomorphisme) :    

Eu égard à la relation d'équivalence a ~ b  ⇔  f(a) = f(b), l'image de G par f est isomorphe
au groupe quotient G/N, N désignant le noyau de f.

Preuve : Notons * la loi de G, e son élément neutre et ~ la relation binaire définie dans G par a ~ b  ⇔ f(a) = f(b). La relation ~  est manifestement réflexive, symétrique et transitive : c'est une relation d'équivalence compatible avec la loi de G . On le vérifie aisément : si f(a) = f(a') et f(b) = f(b'), on a : f(a*b) = f(a)Tf(b) = f(a')Tf(b') = f(a'*b'), c'est bien dire que si a ~ a' et b ~ b' alors a*b ~ a'*b'.

On peut aussi écrire que a ~ b ⇔ f(a) = f(b) ⇔ f(a) T [f(b)]-1 = f(e) = n, élément neutre de f(G). Par conséquent a ~ b ⇔ f(a*b-1) = n ⇔ a*b-1∈N, noyau de f. Il suit que G/N est un groupe (groupe quotient) et Φ l'application qui à tout élément y de f(G) associe sa classe y = {x∈G / y = f(x)} dans le groupe quotient G/N : Φ(y) = y est un isomorphisme (isomorphisme canonique). En effet, par construction (des classes) Φ est bijective et, par définition de la loi induite sur les classes, encore notée T, on a dans G/N :  y T y' =  y T y', donc Φ(y T y') = y T y' =  y T y' = Φ(y) T Φ(y').

 ➔  On voit ainsi que si f est un homomorphisme de G vers H, f = id o Φ-1 o h : décomposition canonique de f en trois homomorphismes : h désigne l'homomorphisme qui à tout élément de g associe sa classe et id l'injection canonique de f(G) dans H. En remplaçant groupe quotient par ensemble quotient, la compatibilité de la relation ~ avec la loi * de G montre que le théorème reste vrai si g n'est qu'un simple magma.

Théorème 5 (corollaire), décomposition canonique d'un homomorphisme de groupes :    

Lorsque f : G → H est un homomorphisme de groupes, de noyau N, on a f = i o φ o π,  i désignant l'injection canonique de Im(f) dans H, φ l'isomorphie définie au théorème 4 et π l'homomorphisme canonique de G sur G/N :

                                                                                               π                          φ                          i                  

                                                                                    G  ————→  G/N  —————→  Im f   ————→ H

Cas plus général de décomposition canonique d'une application  et de bijection canonique associée :  »

Suite exacte :    

Cette notion fut développée par Hurewicz en topologie algébrique dans l'étude des groupes d'homotopie supérieurs. Dans un sens plus large, elle est un outil indispensable à la théorie de l'homologie.

Étant donné une suite de groupes (Gn) finie ou non, et une suite (hn) d'homomorphismes de Gn dans Gn+1, on dit que la suite est exacte lorsque, pour tout n, l'image de Gn est le noyau de Gn+1 : Im hn = Ker hn+1.

                                                                                                hn-1                       hn                     hn+1                  

                                                                                    Gn-1  ————→  Gn  —————→ Gn+1  ————→

Théorème 6 :    

Avec les notations ci-dessus, on peut énoncer deux conséquences immédiates de la définition :

a/  Pour que le diagramme G1 → G2 → G3 soit une suite exacte, il faut et il suffit que Ker (h2) = Im(h1)

b/  Pour que le diagramme G1 → G2 → G3  → G4  soit une suite exacte, il faut et il suffit que les suites
G1 → G2 → G3 et G2 → G3 → G4  soient exactes.

On généralisera aisément aux cas de diagrammes à plus de 4 éléments.

∗∗∗  (N. Bourbaki, Algèbre Ch. 2, §1, n°4)
1. Afin d'alléger la notation on note e, au lieu de {e}, un groupe réduit à un seul élément. Prouver :  a/  e → G → G'  est exacte ssi  f est injective    
b/  G → G' → e  est exacte ssi  f est surjective   c/  e → G → G' → e  est exacte ssi  f est bijective (isomorphisme).

2.  Soit H un sous-groupe de G, i l'injection canonique de H dans G et π  la surjection canonique de G dans le groupe quotient G/H. Montrer que la suite e → H → G → G/H → e est une suite exacte.

3.  Soit f : G → G' un homomorphisme de groupes, i  l'injection canonique de Ker(f) dans G et π la surjection canonique de G' dans le groupe quotient G'/Im(f). Montrer que la suite e →Ker(f) → G → G' → G'/H → e est une suite exacte.

Compléments :

♦ On ne confondra pas le concept algébrique d'homomorphisme avec celui d'homéomorphisme rencontré en topologie bien que la racine grecque homoios nous ait légué homo et homéo pour le même sens de semblable.

♦ On parle parfois d'antimorphisme pour exprimer que :

∀ (a,b)∈G x G : f(a∗b) = f(b) • f(a)

♦ Le terme d'homomorphisme s'applique aussi plus généralement à une application respectant des relations binaires R et S définies dans E et F avec le sens suivant :

Pour tout couple (a,b) de E2, a R b ⇒ f(a) S  f(b)

En particulier, on peut parler d'homomorphisme d'ensembles ordonnés : si (E,<) et (F,<<) sont deux ensembles ordonnés, il s'agira d'une application f : E → F, croissante au sens des relations d'ordre considérées : a < b ⇒ f(a) << f(b).

♦ Un homomorphisme de structures ordonnées est un homomorphisme de structures qui est de plus croissante au sens des relations d'ordre définies dans ces structures:

Nombres ordinaux : »

 ➔   Pour en savoir plus :

  1. Leçons d'Algèbre Moderne, par Paul Dubreil et Marie-Louise Dubreil-Jacotin - Éd. Dunod, Paris -1961.
  2. Éléments de mathématique, Nicolas Bourbaki , Algèbre, ch. I et II - Éd. Hermann.
  3. Toute l'algèbre de la licence : Cours et exercices corrigés, par Jean-Pierre Escofier, Éd. Dunod, Paris - 2006.
  4. http://www1.univ-ag.fr/~mhasler/data/alg3/alg3ch2.pdf
  5. Groupes d'homotopie supérieurs dont suites exactes, fibrations et fibrés, par Laure Antonioli (École polytech. Lausanne) :
    http://infoscience.epfl.ch/record/162465/files/antonioli.semestre.hess.pdf
  6. Suites exactes (2 exercices, prépa Agrég.) par Matthieu Romagny, UPMC :
    https://perso.univ-rennes1.fr/matthieu.romagny/agreg/exo/suite_exacte_a_quatre_termes.pdf

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