ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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En application des angles inscrits : la formule d'Al-Kashi    niveau 3ème/1ère

Voici une application simple de la notion d'angle inscrit dans un cercle, étudiée dès la classe de 3ème mais dont l'usage est très peu usité, voire occulté.

Niveau 3ème/2nde : on considère la figure de gauche. On note R le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Soit B' le point diamétralement opposé à  B. Justifier que ^BAC = ^BB'C. En déduire l'égalité : 

Niveau 2nde : En considérant la figure ci-dessous, vérifier que le résultat ci-dessus est encore valable lorsque le triangle ABC possède un angle obtus. On utilisera la formule sin x = sin(180° - x) ou, en radians : sin x = sin(π - x).

On note a = BC, b = AC et c = AB. Justifier la célèbre formule des sinus dans le triangle plan, parfois attribuée à Al-Kashi mais Al-Biruni l'avait utilisée et prouvée bien auparavant :

Cette formule, associée, si nécessaire, à la formule d'Al-Kashi et à °, permet de "résoudre" des triangles, c'est à dire calculer les angles et les côtés d'un triangle lorsque l'on connaît au moins trois éléments :

  1. Trois côtés : formule d'Al-Kashi pour le calcul de deux angles puis ^A + ^B + ^C = 180°.

  2. Deux ou trois angles : indétermination des côtés; on prend par exemple BC = a comme unité et on calcule AB et AC en fonction de a au moyen de la formule des sinus.

  3. Deux côtés et un angle : si  les côtés connus sont ceux de l'angle connu, on calcule le côté manquant au moyen de la formule d'Al-Kashi et on se ramène au cas 1. Sinon, la formule des sinus permet de calculer le sinus d'un second angle. Le problème sera insoluble si ce dernier est supérieur à 1 ! On peut également ramener le problème à une équation du second degré au moyen de la formule d'Al-Kashi : on peut avoir 0, 1 ou 2 solution(s).

  4. Un  côté et 2 angles : on obtient le troisième angle comme supplément à 180° et on se ramène au cas 1 sans indétermination puisque l'on connait un côté.
Noter, que de la formule de l'aire S d'un triangle, à savoir ½bcsin^A, on déduit

abc = 4RS

  Deux cas élémentaires , Résolutions de triangles (3 exercices)


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