ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

  Proportionnalité directe, règle de trois, inverse, double      pourcentages

On appelle proportion, l'égalité de deux rapports fractionnaires : c'est une forme a/b = c/d. Les lettres a, b, c et d pouvant être numériques (non nécessairement entiers) ou représentant des quantités numériques. Cette notion apparaît très tôt dans l'histoire des mathématiques avec Thalès et son célèbre théorème.

Variables proportionnelles :    

Deux variables x et y sont dites proportionnelles lorsqu'elles sont liées par une relation de la forme

y = kx

k désignant une constante numérique non nulle appelé coefficient de proportionnalité de x vers y ou parfois, coefficient de linéarité de x vers y. En effet :

Propriétés :        

On résume ces deux propriétés en disant que la relation xy = kx est une application linéaire. On rencontrera une application de ces résultats dans les exemples de tableau de proportionnalité ci-après.

Rappelons ici qu'un coefficient est, par définition, un opérateur multiplicatif. Si l'on écrit y = 2x, le coefficient de x vers y est 2. Si l'on écrit y = x/2, le coefficient est 1/2 = 0,5.

On remarque que la relation y = kx s'interprète graphiquement comme l'équation d'une droite du plan passant par l'origine (fonction linéaire), k est alors le coefficient directeur de cette droite. Sur le dessin de droite, k = 2. on a donc y = 2x.

On voit en particulier que :

x = 0   y = 0    (x,y) = (0,0)

et on peut exprimer la proportionnalité sous cette forme :

On dit aussi que la variable y est proportionnelle à la variable x dans le rapport k :

y = kx    y/x = k

Il est clair, et important de savoir, que :

Si y est proportionnelle à x dans le rapport k, alors x est proportionnelle à y dans le rapport 1/k

Le contexte devra toujours permettre d'ôter toute ambigüité concernant la valeur du coefficient de proportionnalité suivant que l'on exprime y en fonction de x (y = kx, rapport k) ou x en fonction de y (x = x/k, rapport 1/k).

Suites de nombres proportionnels :

Dans certaines situations, on ne connaît qu'une suite finie de valeurs de x et y : supposons connues deux suites (x) et (y) de valeurs de x et de y rangées dans l'ordre ci-dessous :

Ces suites sont dites proportionnelles lorsque l'on a :

 

Tous les rapports des éléments de même rang sont égaux à un même nombre k. On reconnaît là le coefficient de proportionnalité de x vers y.

Au collège, on apprend aux élèves à construire un tableau permettant un calcul rapide de certaines quantités dans une situation donnée : c'est le (trop) fameux tableau de proportionnalité présentant en ligne les valeurs d'une variable (1ère ligne) et, en regard (2ème ligne), les valeurs correspondantes de l'autre.

 x 

24

18

8

11

10

76

21

 y

36

27

12

16,5

15

 112

31,5

         Réponse : 76/112 est en désaccord avec 24/36 = 2/3. La suppression de la colonne correspondante fournirait un tableau de proportionnalité.

L'usage des tableaux de proportionnalité usage devient une recette cachant souvent une incompréhension sur le fond du problème... Le réflexe conditionné des élèves s'exprimant par "on n'a qu'à faire un tableau". On-naka ne signifiant pas On-na-compris !

La règle de trois (in memoriam...) :   

Dans les programmes des années 1990, la proportionnalité avait remplacé la non moins fameuse règle de trois, développée par Al-biruni (voir aussi ci-après) et ressuscitée depuis peu ("passage par l'image de l'unité") en substituant une recette à une autre. La proportion d'élèves comprenant ce qu'ils font était malheureusement restée stable... Comme quoi les vieilles recettes...

L'importance excessive donnée à la proportionnalité (de la 6ème à la 3ème) a tendance à faire voir aux élèves de la proportionnalité là où elle n'est pas. Rien n'est moins proportionnel que le monde de l'économie actuel. A part les cas basiques du prix à la pompe et des soldes (pourcentages), les exemples sont rares car, avec les promos tout au long de l'année, 2 flacons de shampoing coûtent plus cher que 3 dans les supermarchés...

 x 

18

 a

b

10

 1

3

19,2

 y

45

7

1

25

c

 d

48

        Réponse : oui car 18/45 = 2/5 = 10/25 = 19,2/48. Le coefficient de proportionnalité de y vers x est alors 2/5 = 0,4
        et celui de x vers y est 5/2 = 2,5 : y = 2,5x et x = 0,4y. D'où :

Remarques d'ordre général :      

  1. Un 1 placé sur une ligne fournit en regard le coefficient de proportionnalité d'une ligne par rapport à l'autre.

  2. De plus, la linéarité de y = kx (ou x = y/k) permet d'obtenir des colonnes supplémentaires par addition ou soustraction de colonnes et/ou multiplication d'une colonne par un nombre.

Par exemple, pour obtenir y lorsque x = 9, on peut diviser 18 par 2, ce qui fournit y = 45/2 = 22,5. On pouvait tout aussi bien faire x = 10 - 1 = 9, donc y = 25 - 2,5 = 22,5.

Dans l'Encyclopédie de Diderot et d'Alemebert, on peut lire, signé par Chambers) :

Dans la règle de trois directe, les termes étant rangés suivant leur ordre naturel, le premier terme est au second, comme le troisième est au quatrième, c'est-à-dire, que si le second est plus grand ou plus petit que le premier, le quatrième est aussi plus grand ou plus petit que le troisième dans la même proportion. Mais dans la règle inverse ( proportionnalité inverse), le quatrième terme est autant au-dessus du troisième, que le second est au-dessous du premier.

Exemple :  on dit dans la règle de trois directe : si trois toises de bâtiment coutent vingt livres, combien en couteront six, c'est-à-dire, 3 t. : 20 l. : : 6 t. : x l. ? on trouvera quarante livres ; mais dans l'inverse, on dit : si vingt ouvriers font dix toises de bâtiment en quatre jours, en combien de tems quarante les feront-ils, c'est-à-dire, 20 ouv. : 40 ouv. : : x jours. : 4 jours. ? on trouvera en deux jours.   ( : : est utilisée par d'Alembert pour signifier l'égalité de deux rapports).

Quatrième proportionnelle, moyenne proportionnelle :

Lorsque b et d sont non nuls, rappelons que l'on a l'équivalence fondamentale :

Connaissant 3 nombres d'une proportion, la recherche du 4ème nombre revient à résoudre une équation simple du 1er degré : on parle de quatrième proportionnelle.

Dans la proportion a/b = c/d, lorsque a = d, soit lorsque a/b = c/a, on dit que a est moyenne proportionnelle de b et c. C'est dire que a2 = bc : c'est un cas particulier de moyenne géométrique.

Une application fondamentale de ce résultat est présente au collège dans l'application du théorème de Thalès.

exercices niveau collège , niveau seconde

La suite de cette page précise les notions de proportionnalité directe, inverse et doublees en rapport avec les trois exercices relatifs aux primes allouées par un banquier à ses employés... (niveau 2nde/BEP) :

Proportionnalité directe (exercice #1) :

Dire que les primes P sont proportionnelles (ou directement proportionnelles) aux salaires S signifie que si P est la prime pour un salaire de S euros, la prime sera de 2P pour 2S euros, 3P pour 3S euros, etc.

En faisant un tableau en ligne des valeurs correspondantes, on constate que le quotient P/S est une constante k :

P/S = k

On parle alors de tableau de proportionnalité. On passe de la ligne des salaires à celles des primes en multipliant par un même nombre : P = k x S .

On dit que P est proportionnel à S dans le rapport k : c'est le coefficient de proportionnalité (de P par rapport à S). La clé des problèmes de ce type est le calcul du nombre k.

 Notez que le rapport S/P est aussi constant dans le rapport 1/k : S est proportionnel à P dans le rapport 1/k.

Retour à l'exercice #1 :

Proportionnalité inverse  (exercice #2) :

Dire que les primes P sont en raison inverse des salaires S signifient qu'elles sont inversement proportionnelles à ces salaires : si P est la prime pour un salaire de S euros, la prime sera de P/2 pour un salaire de 2S euros (la moitié pour un salaire double), P/3 pour un salaires de 3S euros (le tiers pour un salaire triple), etc.

C'est donc dire que P est proportionnel à 1/S (inverse de S) dans le rapport k :  P = k x (1/S) ou encore que S est proportionnel à 1/P dans le même rapport k. On peut également caractériser cette proportionnalité inverse en écrivant que le produit P x S est constant : P x S = k.

Retour à l'exercice #2 :

Proportionnalité double  (exercice #3) :

Dire que les primes P sont en raison inverse des salaires S signifient qu'elles sont proportionnelles à 1/S (voir ci-dessus). Étant aussi proportionnelles à l'ancienneté A (exprimée en années), c'est dire que, globalement, elles sont proportionnelles A  x  1/S = A/S

Le quotient de P par A/S est donc constant : il existe un nombre k tel que P / (A/S) = k ou encore :

P = k x A/S

Retour à l'exercice #3 :


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