ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Proportionnalité directe, inverse, double, règle de trois            » Suite de nombres proportionnels & coefficient de proportionnalité | Règle de 3 | Quatrième proportionnelle | Pourcentages

On appelle proportion, l'égalité de deux rapports fractionnaires : c'est une forme a/b = c/d. Les lettres a, b, c et d pouvant être numériques (non nécessairement entiers) ou représentant des quantités numériques. Cette notion apparaît très tôt dans l'histoire des mathématiques avec Thalès et son célèbre théorème.

• 18/24 = 15/20 est une proportion : 18 est à 24, ce que 15 est à 20, c'est à dire les trois quarts. Et on peut écrire 18/24 = 15/20 = 3/4. On dira aussi que le rapport est de 3 à 4.

• On peut parler de la proportion entre la  longueur L et la largeur l d'un rectangle en exprimant le rapport L/l.
  Par exemple L/l = 4/3. Si on suppose l = 6, alors L/6 = 4/3 = 8/6, donc L = 8.

• On peut aussi parler de proportion a/b en exprimant la valeur du rapport sous la forme d'un nombre ou d'un pourcentage, comme dans la proportion de candidats reçus au concours est de 67%, voulant signifier que sur 100 candidats, 67 ont été reçus

Variables proportionnelles :    

Deux variables x et y sont dites proportionnelles lorsqu'elles sont liées par une relation de la forme

y = k × x

k désignant une constante numérique non nulle appelé coefficient de proportionnalité de x vers y ou parfois, coefficient de linéarité de x vers y. En effet :

On résume ces deux propriétés en disant que la relation x→y = k × x est une application linéaire. On rencontrera une application de ces résultats dans les exemples de tableau de proportionnalité ci-après.

 ➔  Rappelons ici qu'un coefficient est, par définition, un opérateur multiplicatif. Si l'on écrit y = 2x, le coefficient de x vers y est 2. Si l'on écrit y = x/2, le coefficient est 1/2 = 0,5.

On remarque que la relation y = kx s'interprète graphiquement comme l'équation d'une droite du plan passant par l'origine (fonction linéaire), k est alors le coefficient directeur de cette droite. Sur le dessin de droite, k = 2. on a donc y = 2x.

• Si un véhicule roule à vitesse constante v exprimée en km/h, sa distance parcourue en un temps t exprimé en heures sera  d =  v × t. Lorsque v = 60km/h, on aura pour toute valeur de t : d = 60t.

• Si le prix du litre de gas-oil est de 0,98 €, n désignant la quantité de litres soutirée, le prix payé à la pompe sera p = 0,98n. Lorsque le prix affiché est 33,81€, la quantité soutirée est alors  n = 33,81 ÷ 0,98 = 34,5 litres.

On voit en particulier que :

x = 0  ⇔  y = 0  ⇔  (x,y) = (0,0)

et on peut exprimer la proportionnalité sous cette forme :

 ➔  On dit aussi que la variable y est proportionnelle à la variable x dans le rapport k :

y = kx  ⇔  y/x = k

Dans certaines situations, on ne connaît qu'une suite finie de valeurs de x et y : supposons connues deux suites (x) et (y) de valeurs de x et de y rangées dans l'ordre ci-dessous :

• a, a', a", ... (valeurs de x)

• b, b', b", ... (valeurs de y)

Ces suites sont dites proportionnelles lorsque l'on a :

Tous les rapports des éléments de même rang sont égaux à un même nombre k. On reconnaît là le coefficient de proportionnalité de x vers y.

• Considérons les suites de valeurs (x) et (y) : 18, 15, 3 d'une part et 24, 20, 4 d'autre part. (x) est proportionnelle à (y) dans le rapport 0,75. Le coefficient de proportionnalité de (y) vers (x) est 0,75 et celui de (x) vers (y) n'est pas un nombre décimal : l'inverse de 0,75, donc de 3/4, est 4/3 : on utilisera de préférence cette fraction irréductible à 1,33 ou 1,333 qui ne seront que des valeurs approchées.

L'usage des tableaux de proportionnalité usage devient une recette cachant souvent une incompréhension sur le fond du problème... Le réflexe conditionné des élèves s'exprimant par "on n'a qu'à faire un tableau". On-naka ne signifiant pas On-na-compris !

La règle de trois (in memoriam...) :   

Dans les programmes des années 1990, la proportionnalité avait remplacé la non moins fameuse règle de trois, que développa Al-Biruni et Al-Karaji vers l'an 1000 et, bien plus tard le français Jacques Peletier dans son Arithmétique de 1549. La fameuse rè-gle est ressuscitée depuis peu ("passage par l'image de l'unité") en substituant une recette à une autre. La proportion d'élèves comprenant ce qu'ils font était malheureusement restée stable... Comme quoi les vieilles recettes...

        Réponse : oui car 18/45 = 2/5 = 10/25 = 19,2/48. Le coefficient de proportionnalité de y vers x est alors 2/5 = 0,4
        et celui de x vers y est 5/2 = 2,5 : y = 2,5x et x = 0,4y. D'où :

 ➔   Dans l'Encyclopédie de Diderot et d'Alemebert, on peut lire, signé par Chambers) :

Dans la règle de trois directe, les termes étant rangés suivant leur ordre naturel, le premier terme est au second, comme le troisième est au quatrième, c'est-à-dire, que si le second est plus grand ou plus petit que le premier, le quatrième est aussi plus grand ou plus petit que le troisième dans la même proportion. Mais dans la règle inverse (» proportionnalité inverse), le quatrième terme est autant au-dessus du troisième, que le second est au-dessous du premier.

Exemple :  on dit dans la règle de trois directe : si trois toises de bâtiment coutent vingt livres, combien en couteront six, c'est-à-dire, 3 t. : 20 l. : : 6 t. : x l. ? on trouvera quarante livres ; mais dans l'inverse, on dit : si vingt ouvriers font dix toises de bâtiment en quatre jours, en combien de tems quarante les feront-ils, c'est-à-dire, 20 ouv. : 40 ouv. : : x jours. : 4 jours. ? on trouvera en deux jours.   (» : : est utilisée par d'Alembert pour signifier l'égalité de deux rapports).

Connaissant 3 nombres d'une proportion, la recherche du 4ème nombre revient à résoudre une équation simple du 1er degré : on parle de quatrième proportionnelle. Une application fondamentale de ce résultat est présente au collège dans l'application du théorème de Thalès à la recherche de la mesure d'un côté d'un triangle.

• Par exemple, 2/x = 3/7 équivaut à 14 = 3 × x, donc x = 14/3.

 ➔  Dans la proportion a/b = c/d, si a = d, soit lorsque a/b = c/a, on dit que a est moyenne proportionnelle de b et c. C'est dire que a² = bc : c'est un cas particulier de moyenne géométrique.

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Exercices niveau collège , niveau seconde

La suite de cette page précise les notions de proportionnalité directe, inverse et doubles en rapport avec les trois exercices relatifs aux primes allouées par un banquier à ses employés... (niveau 2nde/BEP) :

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Proportionnalité directe (exercice #1) :

Dire que les primes P sont proportionnelles (ou directement proportionnelles) aux salaires S signifie que si P est la prime pour un salaire de S euros, la prime sera de 2P pour 2S euros, 3P pour 3S euros, etc.

En faisant un tableau en ligne des valeurs correspondantes, on constate que le quotient P/S est une constante k :

P/S = k

On parle alors de tableau de proportionnalité. On passe de la ligne des salaires à celles des primes en multipliant par un même nombre : P = k x S .

On dit que P est proportionnel à S dans le rapport k : c'est le coefficient de proportionnalité (de P par rapport à S). La clé des problèmes de ce type est le calcul du nombre k.

 ➔  Notez que le rapport S/P est aussi constant dans le rapport 1/k : S est proportionnel à P dans le rapport 1/k.