ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Calcul du côté de l'ennéagone régulier selon Al-Biruni             
     
 Polygones réguliers

  Ennéagone :  du grec ennéa = neuf  et gônia  = angle  : polygone qui a 9 angles, donc 9 côtés

Vu que 360 ÷ 9 = 40, construire l'ennéagone régulier revient à trisecter l'angle de 120°. Or, on sait depuis Wantzel que la trisection d'un angle, au sens d'Hippias (à la règle et au compas), est généralement impossible : 120° n'est pas trisectable, car 60° ne l'est pas.

Pierre-Laurent Wantzel, trisection & exceptions :

Conscient du problème, datant alors de 1500 ans déjà, Al-biruni s'attaque au polygone régulier de 18 côtés, dont l'angle au centre mesure alors 20°, avec l'intention de calculer le côté de l'ennéagone en fonction du rayon qu'il prend égal à l'unité. La figure obtenue s'analyse alors très simplement :

Partie I : étude de la configuration géométrique

On considère un cercle de centre O de rayon et deux points A et B de ce cercle tels que ^AOB = 20°.

  

1°/ Montrer que ^BAC = 20°.

2°/ En remarquant que les triangles ABC et AOB sont semblables (on peut se ramener à une configuration de Thalès), montrer que BC/AB = AB/OA; en déduire que si l'on prend OA comme unité, on a BC = AB2.

3°/ Montrer que le triangle ACD est équilatéral.

4°/ Montrer que OED est isocèle et que OE = x.

5°/ En remarquant que les triangles AHO et EKO sont semblables (on peut se ramener à une configuration de Thalès), montrer que OH/OK = 1/x.

5°/ Montrer que OH = 1 - x2/2 et OK = (1 - x)/2; en déduire :

x3 = 3x - 1

 Partie II : calcul approché du côté x :

A la manière des mathématiciens grecs qui, faute de construction à la règle et au compas, durent tolérer les calculs fractionnaires approchés (par approximations successives), il s'agit alors de calculer deux moyennes proportionnelles x et y telles que :

Ce qui revient à intersecter la parabole d'équation y = x avec l'hyperbole y2 = 3x2 - x :

Par des moyens algébriques plus sophistiqués, on peut appliquer la formule de Cardan :

Résolution de l'équation (entrez a = 1, b = 0, c = -3, d = 1) :

Votre ordinateur a dû vous répondre quelque chose comme ci-dessous :

Sachant que 0 < x < 1, nous choisissons x = 0,347296... et d'après la théorie des demi-cordes, cela doit être 2 × sin 10°, ce qui est bien le cas.

Partie III : calcul approché du côté de l'ennéagone

Le côté de l'ennéagone est y = 2AH. Or AH2 = x2 - (x2/2)2 ,  donc :

 

et on peut vérifier que cela n'est autre que y = 2 x sin20° , soit : y = 0,684040... correspondant à la formule :

AB = 2R x sin ^AOB


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