ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Hauteur d'un immeuble    méthode des "tambours"    TD 2nde/1ère

On désire mesurer la hauteur h de l'immeuble ci-dessus.

Pour ce faire, on dispose d'un (grand) "tambour" de rayon r et d'une lunette de visée (un théodolite) avec un recul suffisant permettant de mesurer, au moyen de la lunette, les angles α= ^HAS et β = ^HBS obtenus en plaçant le tambour en deux emplacements distants.

On pose d = AB. La hauteur de l'immeuble sera h = SH + r.

Calculer HS en fonction de α et β et d en utilisant uniquement la fonction trigonométrique tangente.

Dans le triangle rectangle HSA, on a SH = AH × tanα et dans HSB : SH = BH × tanβ.

Mais BH = AH + d. On en déduit AH × (tanα - tanβ) = d × tanβ.

Ce qui nous fournit AH que l'on remplace dans SH = AH × tanα. il suffit alors de rajouter le rayon r du tambour :

Cette méthode fut utilisée en géodésie (science de la mesure des distances et des altitudes) par un grand savant persan des 10è-11è  siècles, Abu l'Rayhan Biruni, communément appelé al-Biruuni (prononcer Al-Birouni) et est encore utilisée de nos jours :

Ci-dessous, pour évaluer la hauteur h = SH de la montagne, on s'en éloigne jusqu'à être en terrain plat à une altitude connue, appelons-la k. La distance d = AB est connue. Comme ci-dessus, les relations trigonométriques dans les triangles SAH et SBH permettent d'écrire :

h = SH = AH × tan^a = BH × tan^b

Ce qui nous conduit à :

La hauteur de la montagne est h par rapport au terrain de visée, k + h par rapport au niveau de la mer.