ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

STEINER Jakob, suisse, 1796-1863

Autodidacte, Steiner réussit à suivre des études supérieures à Heidelberg tout en enseignant dans des cours privés. En 1822, il complète ses études de mathématiques à l'université de Berlin où il obtiendra un poste d'assistant (1825) puis une chaire en 1834 qu'il conservera pendant toute sa carrière. Ami d'Abel et de Jacobi, Steiner se fit connaître dès 1826 par ses articles dans le journal de Crelle.

Ses travaux portèrent quasi exclusivement sur la géométrie euclidienne relative au cercle dont en particulier la notion de puissance d'un point par rapport à un cercle) et sur une construction rigoureuse et abstraite de la géométrie projective parallèlement à ceux, en Allemagne, de Von Staudt, professeur à Erlangen, et de Poncelet, en France. Ses travaux furent poursuivis en particulier par Sturm et Cremona.

Droite de Steiner :

Soit M un point du cercle circonscrit à un triangle ABC d'orthocentre H.

L'orthocentre du triangle et les symétriques de M par rapport aux cotés du triangle sont alignés.

Cette droite se déduit de celle de Simson par homothétie de centre M, de rapport 2.

Ce beau résultat peut être prétexte à une belle construction géométrique en classe 6ème/5ème en utilisant le vocabulaire de la symétrie axiale et la notion de hauteur dans un triangle. Les 4 points rouges alignés apportant la preuve non seulement d'une construction précise mais (surtout) d'un bon apprentissage des connaissances mises en cause.

Un autre résultat concernant le triangle : pour un périmètre donné, celui d'aire maximale est le triangle équilatéral.

et, plus subtil : de toutes les figures planes ayant le même périmètre, celle ayant la plus grande aire est le cercle.

Ce dernier résultat isopérimétrique parut naturel, bien auparavant, à la reine Didon; mais la démonstration analytique, dû à Jakob Bernoulli, exigea des calculs difficiles liés à ce qu'on appelle aujourd'hui le calcul des variations.

Un résultat original sur les constructions géométriques :

Les constructions à la règle seule sont très difficiles. Elles relèvent généralement de la géométrie projective. Steiner prouva que :

Toute construction à la règle et au compas peut être exécutée à l'aide de la règle seule à condition qu'un cercle soit tracé au préalable dans le plan de la figure.

                                Mohr , Mascheroni , Napoléon

Ellipses de Steiner :

On appelle ainsi les ellipses inscrites et circonscrites à un triangle ABC. Plus précisément : l'ellipse inscrite est tangente intérieurement aux trois côtés du triangle, l'ellipse circonscrite est caractérisée par ses tangentes en A, B et C, respectivement parallèle à (BC), (AC) et (AB).

Étude de ces ellipses :               Van der Waerden

Surface de Steiner :

 Il s'agit de la surface algébrique du 4ème degré d'équation :

x2y2 + y2z2 + z2x2 + xyz = 0

Elle possède un point triple à l'origine.

Cette surface s'interprète comme la projection d'une surface de Véronèse sur l'espace projectif de dimension 3.  Étudiées par Steiner lors d'un séjour à Rome en 1844, ces surfaces sont parfois appelées, surfaces romaines !

Notion de surface :

  Pour en savoir plus :


Quételet  Warren
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