ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

JULIA Gaston Maurice, français, 1893-1978

Normalien, agrégé de mathématiques (1914), il fut très grièvement blessé au visage pendant la première guerre mondiale (défiguré, il devra porter un masque).

C'est lors de longs séjours dans les hôpitaux que ce jeune mathématicien ébauchera ses premiers travaux. C'est ainsi que devant Picard et Georges-Marie Humbert, il soutint une première thèse à la faculté des sciences de Paris (1917) intitulée Étude sur les formes binaires non quadratiques à indéterminées réelles ou complexes, ou à indéterminées conjuguées ( réf.2a, 300 pages !).

  Georges-Marie Humbert (1859-1921) : polytechnicien, ingénieur des Mines, docteur en mathématiques (sur les courbes de genre un, 1885). Travaux sur les courbes et surfaces algébriques, professeur au Collège de France. Élu à l'Académie des sciences en 1901.  Source éléments biographiques : Annales des Mines.

L'année suivante, il traite un sujet pointu relatif aux fonctions complexes en prolongement de ceux commencés par Fatou : Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles, publié en 1918, qui lui valut le Grand prix de l'Académie des sciences et qui sera sa seconde thèse de doctorat ( réf. 2b). Notons que le terme itération (du latin iterare = répéter, redire) et la locution fonction itérée semble apparaitre pour la première fois en mathématiques avec Julia.

Maître de conférence à la Sorbonne, Julia enseigna également à l'Ecole normale supérieure et à l'École polytechnique. Il fut élu à l'Académie des sciences en 1934, section géométrie.

Monge, fondateur de l'ENS et de l'École Polytechnique :

Les ensembles de Julia (ainsi dénommés par B. Mandelbrot) :

Ces objets ont un aspect fractal et seront la source des travaux de Benoît Mandelbrot des années 1970 où l'apport de l'outil informatique permit la visualisation de ces ensembles étonnants remettant en cause le concept usuel de courbe.

Notons fc la fonction complexe définie de C dans C par fc(z) = z2 + c et  fcn(z) le n-ème itéré de z par f, n décrivant N :

fco(z) = z , fc1(z) = fc(z) , fcn(z) = fc( fcn-1(z)).

Considérons l'ensemble Zc des nombres complexes z tels que l'ensemble de leurs itérés par fcn(z) soit borné.

On désigne alors par Kc l'ensemble des points M(x,y) du plan complexe, d'image z = x + iy, z décrivant Zc. La frontière de Kc est l'ensemble de Julia associé au complexe c.

 L'ensemble de Julia peut aussi être défini par l'étude de la suite : zn+1 = zn2 + c. L'ensemble Kc est alors l'ensemble des valeurs initiales zo de la suite telles que (zn ) soit bornée et convergente. L'ensemble de Julia, sa frontière, est l'ensemble des valeurs initiales zo de la suite telles que (zn ) soit bornée mais non convergente.

L'ensemble de Mandelbrot (ainsi dénommé par Douady) correspond aux valeurs de c pour lesquelles Kc est connexe. C'est aussi la frontière séparant les domaines de convergence et de divergence de la suite :


L'ensemble de Mandelbrot. Source : Arnaud Bodin, univ. Lille 1.

L'étude, dans le cas réel, de suites similaires un+1 = f(un) où f est une fonction trinôme n'est pas simple et peut conduire, suivant f et uo à des comportements chaotiques de la suite (un). Ces comportements ont des applications concrètes (biologie, économie, climatologie) et sont étudiés depuis les travaux de Benoît Mandelbrot.

 Pour en savoir plus :

  1. Vie et œuvre de Gaston Julia par Michel Hervé (22 novembre 1978, séminaire d'histoire des mathématiques) :
    http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CSHM/CSHM_1981__2_/CSHM_1981__2__1_0...pdf

  2. a/  Étude sur les formes binaires non quadratiques à indéterminées réelles ou complexes, ou à indéterminées conjuguées (1917) :
    http://scans.library.utoronto.ca/pdf/4/30/tudesurlesform00juliuoft/tudesurlesform00juliuoft.pdf (paginer jusqu'à 11).
    b/  Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles
    , 1918 (source Gallica/Mathdoc) :
    http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1918_8_1_A2_0.pdf

  3. Étude de l'ensemble de Mandelbrot, pages d'Arnaud Bodin, université de Lille 1 :
    http://math.univ-lille1.fr/~bodin/fichiers/capes_mandelbrot.pdf

  4. Ensemble de Mandelbrot, programme Maple V : http://www.oci.unizh.ch/mirror/maple/mfrmand.htm


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