ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Notions sur la théorie des nœuds
     
» Tresses & Entrelacs

Les nœuds entrelacés sont utilisés depuis de nombreux siècles dans les arts graphiques et architecturaux ainsi qu'en orfèvrerie. Les arts celtique (dès 500 ans avant J.-C.), gréco-romain et, tout particulièrement, arabe (dès le 8è siècle) en firent grand usage. On en rencontre également dans des enluminures complexes dans des éditions anciennes de la Bible et du Coran (» réf.19&20).


Mosaïque entrelacée, palais de l'Alcazar (Séville) fournie gracieusement par TripAdvisor

Le premier mathématicien à s'intéresser aux nœuds semble être Vandermonde dans un petit traité Remarques sur les problèmes de situation (1772) annonçant une nouvelle et fondamentale branche des mathématiques : la topologie. Il reprend là un essai de Leibniz, Geometria situs (1679), une géométrie de situation où ce dernier cherche à étudier les propriétés des figures mathématiques selon leurs seules positions relatives dans l'espace indépendamment de l'aspect métrique et analytique.

Mais c'est avec Gauss que les concept théoriques de nœuds et d'entrelacs (en tant que réunion de nœuds disjoints) apparaissent en 1833 dans un mémoire sur l'électromagnétisme complété en 1844 avec la collaboration d'un de ses étudiants, Johann Listing (à qui l'on doit le terme topologie), où il montre que le nombre d'entrelacements de deux nœuds orientés (on y définit un sens de parcours) peut se calculer au moyen d'une intégrale (» réf.5, page 52).

Cependant, l'étude mathématique des nœuds est apparue tout particulièrement dans la seconde moitié du 19è siècle lorsque des physiciens, dont William Thomson, alias Lord Kelvin, imaginèrent des modèles de structure moléculaire : avec les progrès de la chimie et de la physique, les atomes "crochus" de Démocrite ne suffisaient plus à expliquer la structure intime de la matière.

 i  William Thomson (1824-1907), alias Lord Kelvin (1892), célèbre physicien écossais (théorie de la chaleur, magnétisme, électricité). Professeur à Glasgow. On lui doit en particulier le calcul du zéro absolu (-273,16°C) et les degrés portant son nom.  

Dans les années 1860, avec un des ses étudiants, Peter Guthrie Tait (1831-1901), Thomson imagine un modèle atomiste, dit des atomes tourbillonants (vortex atoms) où les molécules (agrégats d'atomes) seraient de nature ondulatoire : elles feraient des entrelacs pour constituer un ensemble cohérent et structuré.


Ce bel entrelacs date du 4è siècle. Il provient de la Villa romaine du Casale (Piazza Armerina, Sicile).
Source : http://matematica-de-los-nudos.blogspot.fr/

Cette conception, pouvant expliquer de nombreux phénomènes, intéressa les physiciens de l'époque et, afin de la valider, il était nécessaire de dénombrer les différents types d'agrégats. Ce fut, durant plusieurs années, le travail de Tait publié à Londres en 1898. Il fallut attendre un demi siècle (1913) pour voir apparaitre un nouveau modèle, aujourd'hui incontesté : l'atome de Bohr portant le nom du physicien danois Niels Bohr (1885-1962) :

Petite incursion dans le monde de la physique : »

Afin d'aider les physiciens, les mathématiciens commencèrent à étudier et classifier le concept abstrait de nœud en tant que courbe de l'espace. Les mathématiciens allemands Dehn et Tietze contribuèrent au développement de cette nouvelle branche mathématique dans les années 1910 en s'appuyant sur la topologie combinatoire, appelée aujourd'hui topologie algébrique, pour la classification de ces courbes particulières et, mais dans une moindre mesure, sur la géométrie différentielle si l'on considère un nœud en tant que variété de R3.

La théorie des nœuds (en anglais, knot theory) vit ainsi le jour et on attribue au mathématicien allemand Kurt Reidemeister (1893-1971), algébriste et spécialiste en topologie combinatoire, alors professeur à Konigsberg, le premier traité exclusivement consacré à cette nouvelle théorie (Knottentheorie, 1928).

 i  Kurt Reidemeister (1893-1971), mathématicien allemand, algébriste, spécialiste en topologie algébrique, il étudia à Hambourg et obtint son doctorat sous la direction de Erich Hecke (1921). Reidemeister fut professeur à Königsberg dès 1925 mais, opposé au pouvoir nazi, son poste lui fut retiré en 1933. Il put cependant continuer d'enseigner à  Marburg (près d'Heidelberg). Après la guerre, reidemeister fut invité à Princeton (1948-50) et rejoignit ensuite son poste à Marburg avant d'être nommé en la prestigieuse université de Göttingen. Un invariant en topologie algébrique porte son nom (» réf.21).

    Plus récemment, cette théorie, ainsi que la théorie des tresses qui lui est associée, initiée par E. Artin dès les années 1920 (» réf.14&15), voient une application inattendue avec la représentation (1953) de l'ADN par l'anglais Francis Crick (1916-2004) et l'américain James Dewey Watson (1928-), colauréats du prix Nobel de physiologie 1962, dont le désormais célèbre modèle de structure hélicoïdale est représenté par une double hélice s'enroulant sur elle-même.

» ADN désigne l'Acide DésoxyriboNucléique, une molécule complexe (macromolécule) présente dans toutes les formes de vie sur Terre et correspondant à la signature génétique d'un individu, groupe d'individus et espèce.

En savoir plus sur l'ADN :  Laboratoire de physique statistique, ENS : »   |   Wikipédia : » 

La théorie des nœuds, d'aspect quelque peu ludique a priori, est en fait fort complexe ! Elle fut et fait encore l'objet d'études dans de nombreux pays, comme aux Etats-Unis (» James Alexander, Vaughan Jones, Lee Neuwirth, John H. Conway, Jones W. Milnor), en Russie (Alexei Sossinsky, »réf.1) et en France dans différents laboratoires de recherches tant mathématiques que physique ou biochimiques comme P. Dehornoy à Caen, J.P. Sauvage à Strasbourg (» réf.14).


Ce superbe nœud est emprunté à Robert Scharein : http://www.knotplot.com.
Vous pouvez télécharger la version d'évaluation de ce logiciel et/ou acheter la version complète.

Qu'est-ce qu'un nœud ? :

Nous dirons provisoirement, qu'un nœud est une courbe dans l'espace 3D, fermée, continue et sans point double. Avant d'en donner une définition plus précise, nous allons présenter des interprétations physiques concrètes. On ne doit cependant pas oublier dans cette approche qu'un nœud est un objet mathématique dont l'étude et la théorie ne tiendra compte ni de sa matière, ni de sa forme ni de ses dimensions dans les trois directions de l'espace, mais seulement de ses caractéristiques topologiques.

On obtient concrètement un nœud en partant d'un bout de ficelle, segment de corde, auquel on fait subir des déformations (croisements, enroulement, nœuds au sens usuel) et en raboutant au final le bout de ficelle emmêlée par les deux extrémités. Le nœud représenté ci-dessous à droite à la manière d'un nœud de chaussure (représenté à gauche), parfois qualifié de nœud simple, dont on "raboute" les extrémités, est appelé nœud de trèfle (trois croisements).

Première notion d'isotopie :    

En tant que courbe fermée sans point double, le cercle fait partie de la théorie mathématique des nœuds : on le nomme nœud trivial. Les quatre nœuds ci-dessous sont mathématiquement équivalents : on dit plus exactement qu'ils sont isotopes pour exprimer que l'on peut passer de l'un à l'autre par des déformations successives sans les couper (» isotopie).

Les deux nœuds de droite sont équivalents au cercle, comme un élastique replié ou croisé sur lui-même. L'interruption du tracé permet de signaler un passage "par-dessus" ou "par-dessous" :

Théorème de Fary-Milnor :   

En utilisant les moyens sophistiqués de la topologie différentielle, le mathématicien hongrois Istvan Fary a prouvé (1949, » réf.13a) le résultat suivant, confirmé par Jones W. Milnor l'année suivante :

Dans l'espace usuel, une courbe gauche fermée simple et lisse dont la courbure totale est inférieure à 4π est un nœud trivial.

Par contraposition :   

la courbure totale d'un nœud non trivial est au moins égale à 4π

» Courbe simple, lisse, ... | Courbure totale

 i  Istvan Fary, mathématicien hongrois, 1922-1984. Professeur à l'université de Californie (Berkeley), il fut un spécialiste en géométrie algébrique et topologie algébrique. Par là, il s'illustra également en théorie des nœuds. On trouvera sur le site Numdam (» réf.13b) quelques publications en français de ce mathématicien.

Diagramme d'un nœud :   

à l'exception du cercle et de ses équivalents comme l'étoile ci-dessus, la projection d'un nœud sur un plan est une courbe plane fermée présentant des points doubles.

Chaque point double de la courbe correspond en fait à un croisement du nœud, lorsque celui-ci boucle au-dessus ou au-dessous d'un de ses brins, lesquels correspondent aux arcs de la courbe limités par ses points doubles. Les régions d'un nœud correspondent à celles de sa projection plane.

   Au vu des exemples ci-dessus, on doit comprendre qu'un seul croisement équivaut à aucun. Quitte à tenter l'expérience, on constatera qu'il n'existe pas de nœud non trivial à 2 croisements : le plus simple nœud non trivial est ainsi le nœud de trèfle (3 croisements) représenté ci-contre.

Le triscèle, projection plane du nœud de trèfle : »

Nœuds & jeux de ficelle :    

Les jeux d'enfants d'autrefois (plus vraiment à la mode dans les cours de récré...) consistant à suggérer des objets avec un élastique ou une ficelle raboutée,  illustrent de manière plus subtile le concept de nœud isotope au cercle comme ci-dessous :

La tour Eiffel, vidéo sur le site La Récréative de Sinje Starck :


http://www.larecreative.com/jeu-de-ficelle-la-tour-eiffel/

L'échelle de Jacob sur le site http://momsminivan.com :


http://www.momsminivan.com/how_to_do_jacobs_ladder.html


http://www.momsminivan.com/how_to_do_jacobs_ladder.html

Au sens mathématique :   

Au vu de ces considérations et manipulations concrètes, on pourrait définir un nœud en tant que courbe fermée de l'espace (assimilé à R3), sans points multiples et l'identifier à l'image de l'intervalle  [0,1]⊂R par une application f de [0,1] dans R3, bijective et continue telle que f(0) = f(1).

Mais afin de se placer dans des conditions optimales pour le développement de cette théorie, les mathématiciens préfèrent des hypothèses plus fortes :

1/ Par convention, le cercle est un nœud : c'est un nœud dit trivial (on ne peut plus banal), noté S1 (» sphère Sn) et considéré comme plongé dans l'espace R3; son équation cartésienne peut être donnée par x2 + y2 = 1, z = 0 et sous forme paramétrée, on écrira x = cos(t) , y = sin(t) , z = 0.
2/ Tout nœud est une courbe de Jordan, image de S
1 par un homéomorphisme f de R3.

L'application f : S1 R3 est ainsi bijective et continue ainsi que sa réciproque. La continuité assure qu'un nœud est d'un seul tenant et fermé (comme le cercle). L'injectivité assure l'absence de points multiples (courbe simple, le nœud ne se traverse pas).

a)  On ne s'étonnera pas que f soit bijective : un cercle C peut s'obtenir en refermant un segment S par ses extrémités. Partant du segment S auquel on fait subir des nœuds (au sens courant) et des croisements plus ou moins subtils dans l'espace, que l'on raboute ensuite, on obtient un nœud "mathématique" en bijection avec S.

b)  Afin de développer certains aspects spécifiques, certains auteurs (» réf.5, réf.6) remplacent l'homéomorphisme f par un difféomorphisme, homéomorphisme continûment différentiable, ainsi que sa réciproque, condition plus forte : la dérivabilité assure qu'un nœud est une courbe lisse (pas de point singulier, pas de rebroussement) admettant une tangente en tout point. Ce qui conduit à exclure certains nœuds à points limites, nœuds dits sauvages. On peut comprendre le phénomène au moyen des représentations ci-dessous :

On part de (a) : nœud de trèfle. On le nœud de part et d'autre de sa boucle et on étire progressivement. Dans cette déformation continue (e), (f), ... ((g), ..., la boucle disparait et s'assimile à un point limite dont la tangente en ce point est indéterminée ! A ce propos, on pourra consulter réf.1 ou réf.4a pour l'exemple classique d'un tel nœud s'interprétant comme le composé d'une infinité de nœuds de trèfle s'enroulant dans un cône. L'illustration ci-dessous, empruntée au site wildandnoncompactknots.wordpress.com illustre clairement la problématique :

Nœuds isotopes, nœuds équivalents :

En tant que courbe fermée de l'espace, un nœud peut être déformé comme on le ferait pour une rallonge électrique emmêlée, en cherchant à minimiser le nombre de croisements en faisant passer une boucle dans une autre ou par dessus ou dessous l'autre sans "couper" le nœud. Chaque étape déforme le nœud en un nœud homéomorphe.

à l'issue des transformations successives, il restera un certain nombre de croisements non réductibles et on dira que le nœud obtenu est isotope au nœud initial. Le processus étant réversible (on peut réemmêler...), au lieu de « K1 est isotope à K2 » , K comme knot bien sûr..., on dira « K1 et K2 sont isotopes » : on définit ainsi implicitement une relation d'équivalence entre les nœuds (on y reviendra plus loin).

L'isotopie, puisqu'il faut l'appeler par son nom..., entre deux nœuds K1 et K2 s'apparente ainsi à une déformation continue de l'un à l'autre. Mais ce n'est pas un homéomorphisme h de R3 tel que h(K1) = K2 qui rangerait tous les nœuds dans une unique classe d'équivalence, celle du cercle S1 !

Connexité et homotopie : »

   Il est clair que le nœud de trèfle, appelons-le K3 (K comme knot), le plus élémentaire des nœuds hormis le nœud trivial S1 auquel il est homéomorphe par définition, n'est pas isotope à ce dernier : il faudrait que K3 se "traverse" en l'un de ses croisements afin de pouvoir le "tordre" et obtenir le cercle.

En tant que courbes continues de l'espace R3, deux nœuds N1 et N2 admettent une représentation paramétrée définie ci-dessous respectivement par φ et ψ :

φ : t → (x1(t), y1(t), z1(t))   et   ψ : t(x2(t), y2(t), z2(t)), t∈[α,β]⊂R

Les nœuds N1 et N2 de R3 sont dits isotopes ou de même type d'isotopie s'il existe une application continue h de [α,β] × [0,1] dans R3 telle que :

Cette dernière condition exprime en particulier que t → hu(t) est injective et continue. On "passe" ainsi continûment de φ à ψ.

On peut expliciter hu en posant, pour tout u de [0,1] : hu(t) = (X(t,u), Y(t,u), Z(t,u)) avec h0 = φ et h1 = ψ, on a :

et les fonctions X, Y et Z sont des fonctions continues de t sur [α,β].

On remarque que h'u = h1-u vérifie pour tout t : h'0(t) = h1(t) = h(t,1) = ψ(t) et h'1(t)= h0(t) = h(t,0) = φ(t) : en conséquence, et comme on pouvait s'y attendre, la relation R définie par

N1 R N2 ssi « N1 et N2 ont même type d'isotopie »

est symétrique et on montrera aisément que R est une relation d'équivalence. Cette définition d'une isotopie relative aux nœuds est semblable à celle rencontrée dans le concept de d'homotopie des chemins et lacets. Elle va nous conduire à celle des nœuds équivalents. Mais tout d'abord :

Nœuds miroirs :    

Ces deux nœuds de trèfle se correspondent dans une réflexion, symétrie par rapport à un plan, comme (x,y,z) → (x,y,-z). Autrement dit, si vous placez le nœud de gauche devant un miroir, vous observerez le nœud de droite (un brin vu "dessus" un autre est vu "dessous", et vice-versa). Un nœud isotope à son image miroir est dit amphichéral (du grec amphi = des deux côtés) et de cheiron = main).


Nœud de trèfle gauche (classé 31*) et son image par réflexion, nœud de trèfle droite (classé 31)

 !  Ne confondez pas image par réflexion (symétrie par rapport à un plan) et retournement (dans l'espace) qui est une rotation d'angle 180° autour d'un axe.

En particulier, par retournement, le nœud en 8 (ci-dessous) et le nœud de trèfle sont invariants !

Un même nombre de croisements pour deux nœuds apparemment distincts pourrait laisser penser qu'ils sont isotopes. Ce n'est pas le cas : cette condition nécessaire n'est pas suffisante. Le nœud de trèfle ci-dessus (3 croisements) est un exemple élémentaire de nœuds non isotopes avec un même nombre de croisements (irréductibles) : celui de gauche n'est pas isotope à celui de droite. Vous ne pourrez pas passer de l'un à l'autre par déformation continue ! il vous faudra couper la ficelle... Ils ne sont donc pas équivalents.

Le nœud en huit possède 4 croisements (irréductibles). Par réflexion, il semble lui aussi non isotope à son image. Mais il n'en est rien : il lui est isotope : on peut s'en convaincre en le "fabricant" avec un bout de ficelle ou de laine :


Nœud en 8 à gauche (41)  et son image dans un miroir à droite

Un tel nœud, isotope à son image par réflexion, est dit réflexif.

Nœuds équivalents :   

On dit que deux nœuds sont équivalents pour exprimer qu'il sont isotopes à une réflexion près :

Le difficile problème de la classification des nœuds :

Trois problèmes fondamentaux se présentent :    

1. Un nœud est-il effectivement noué ? Ses croisements sont-ils réductibles ou non ? importante question car un nœud apparemment complexe se dénoue parfois très simplement comme ci-dessus. On peut aussi penser aux nœuds marins, aux fils de pêche, aux rallonges électriques ou aux tuyaux d'arrosage...

2. Déterminer si deux nœuds d'apparence distincte ne sont pas en fait équivalents quitte à les déformer : ci-dessous, ce nœud de trèfle et le double huit (à droite), d'apparence distincte, sont isotopes : on obtient l'un par déformation continue (sans couper ni rabouter) de l'autre. Faites l'expérience avec une ficelle. Dans les tables de classification des nœuds, le double huit n'apparaît pas : étant dans la même classe d'équivalence, il est fait choix du nœud de trèfle noté "31".

3. Peut-on classer les nœuds eu égard à des propriétés caractéristiques invariantes ne dépendant donc pas des déformations appliquées aux nœuds évoquées ci-dessus ?

Après un siècle et demi de recherches, ce problème n'est aujourd'hui que partiellement résolu. Peter Guthrie Tait eut le premier l'idée de considérer la projection d'un nœud (en tant que courbe de l'espace) sur un plan convenablement choisi, c'est à dire respectant le nombre de croisements. On parle du diagramme d'un nœud. Pas évident, car deux nœuds (points de R3) peuvent avoir la même projection et, par déformation, deux projections d'un même nœud peuvent différer.

Nœuds alternés :    

Mettant en œuvre cette idée, il se lança tout d'abord dans la classification des courbes planes à points multiples en se limitant à 10 croisements au plus. Tache énorme ! Comme le remarque A. Sossinsky (» réf.1), 10 croisements peuvent conduire à 210 = 1024 nœuds possibles : en parcourant le nœud, on peut passer "sur" ou "sous" un brin existant, donc 2 × 2 × 2... × 2 = 1024 cas possibles. Tait se limita alors à des nœuds dits alternés : pour lesquels le parcours conduit alternativement à passer "sur" puis "sous" un brin existant ou vice-versa, ce qui limite à 2 cas pour chaque courbe étudiée.


Ce nœud n'est pas alterné.

Cette limitation ne simplifie que partiellement le problème car à un nombre donné n de croisements correspond un nombre de nœuds non isotopes croissant exponentiellement avec n : pour n = 5, on peut facilement vérifier qu'il n'y a que deux nœuds alternés non isotopes, mais ce nombre augmente très vite, on le verra au paragraphe suivant.

 
Les deux nœuds alternés non isotopes à 5 croisements vus par KnotPlot (réf.18)

Nœuds composés, monoïde unitaire des nœuds et nœuds premiers :

Dans le classement des nœuds, on élimine également les nœuds composés, c'est à dire des nœuds apparaissant comme résultant d'un chainage de deux ou plusieurs nœuds. Ci-dessous, on a "coupé" deux nœuds A et B et séparé les extrémités ainsi créées. Si l'on raboute (a) à (b) et (a') à (b'), on obtient un nouveau nœud dit composé de A et B et noté A#B.

      fig.8

      fig.9

On peut parler du composé de A et B plutôt que du composé de A par B car cette loi de composition des nœuds est commutative : A#B = B#A, cette égalité désignant une égalité de classes d'équivalence au sens isotopique. Une preuve élémentaire par manipulation (source réf.1) consiste à "agrandir" les régions du nœud A de la figure 8 ci-dessus, "réduire" les boucles de B, rabouter les brins (a) à (b) et faire glisser les boucles du nœud B le long de (b) puis de (a).

   On se convaincra de la possibilité de faire glisser les boucles d'un nœud le long d'un brin en fabricant un nœud avec un bout de ficelle...

Une fois "sorti" sur le brin (a'), on raboute (a') à (b'). Le nœud B est ainsi "à gauche" du nœud A. Les déformations ainsi effectuées sont des composées d'isotopies. On obtient ainsi un nœud B#A isotope à A#B.

La composition des nœuds est manifestement associative : (A#B)#C = A#(B#C). Elle admet un élément neutre, à savoir le nœud trivial (isotope à un cercle). En effet, notons-le U : on a A#U = U#A = A car cela consiste à composer avec un brin non noué.

Par contre, on conviendra facilement qu'un nœud autre que le nœud trivial n'admet pas de symétrique pour la loi # : étant donné un nœud A distinct de U (non isotope à U) , il n'existe aucun nœud A' tel que A#A' = A'#A = U. L'ensemble des nœuds muni de la loi # n'est donc pas un groupe mais seulement un monoïde unifère.

Nœuds premiers :    

Eu égard à la loi # de composition des nœuds, on est amené à étudier les nœuds composés et constater que certains ne le sont pas. Précisons cela :

Tout nœud A non trivial admet-il deux nœuds non triviaux B et C tels que A = B#C ?

La réponse est non. Un exemple simple est donné par le nœud de trèfle déjà plusieurs fois cité. Il en est de même des nœuds à 4 et 5 croisements également déjà évoqués. < a href="#tait">Tait consacra de nombreuses années à la classification des nœuds premiers selon leur nombre minimal de croisements (on dit plus simplement leur ordre). Pour n = 6, on distingue 3 cas, pour n = 7 → 7 cas, pour n = 8 → 21 cas, pour n = 9 → 49 cas, pour n = 10 → 165 cas, pour n = 11, 552 cas, pour n = 12, 2176 cas.


Table partielle des nœuds premiers alternés, source : KnotPlot (réf.18)

    Un des intérêts majeurs du concept de nœud premier est que l'on pourra restreindre l'étude d'un nœud aux nœuds premiers qui le composent car la loi # est compatible avec la relation d'isotopie R, c'est à dire :

Si A R A' et B R B', alors (A#B) R (A'#B')

Quelques remarques :  

Invariants de nœuds, une aide à la classification :

Le modèle de l'atome de Bohr (1913), adopté par les physiciens du monde entier met un point final aux modèle atomiste fondé sur la théorie des nœuds. Comme il a été dit en introduction, celle-ci retrouvera une notoriété inattendue en 1953 avec la découverte de l'ADN. Mais les mathématiciens ne l'ont jamais abandonnée. Le travail de Tait, purement descriptif, n'apporte pas une réponse satisfaisante au problème de la classification :

Deux nœuds étant donnés, existe-t-il un algorithme ou un critère permettant de dire qu'ils sont isotopes ?

En 1926, afin de clarifier la situation, Reidemeister réutilise les diagrammes plans de Tait et montre qu'il existe trois transformations de ces diagrammes permettant de les simplifier et, par là, d'obtenir dans l'espace, au bout d'un nombre fini de ces transformations, un nœud isotope au nœud initialement projeté. On parle aujourd'hui des trois mouvements de Reidemeister, à savoir :

R1 : création/suppression d'une boucle;
R2 : création/suppression de deux croisements dits jumeaux (dessus-dessus ou dessous-dessous);
R3 : déplacement d'un brin passant au-dessus ou au-dessous d'un croisement

Mais le problème peut malgré tout rester ardu si le nœud étudié est très noué, d'où la recherche d'un outil plus convaincant :

La notion d'invariant :   

On appelle invariant d'un nœud K tout objet mathématique propre à la classe d'isotopie de K : il reste invariant par déformation isotopique. Ce peut être un nombre, un polynôme, une matrice, un déterminant, un groupe, ...

Le plus simple des invariants connus est le nombre minimal de croisements qui servit à la classification de Tait.

D'une façon générale, si deux nœuds ont des invariants de même type différents, alors ces nœuds ne sont pas équivalents. Cependant, pour un type d'invariant donné, deux nœuds ayant même invariant ne sont pas nécessairement équivalents. On dit de ce type d'invariant qu'il n'est pas complet.

L'invariant des 3 couleurs de Fox :    

 i  Ralph Hartzler Fox (1913-1973) est un mathématicien américain, diplômé de l'université de Princeton (1939) puis professeur en cette université, spécialiste en topologie différentielle, théorie de l'homotopie et des espaces fibrés. Il doit sa notoriété à ses recherches et publications sur la théorie des nœuds en collaboration avec un des étudiants Richard Henry Crowell dont il dirigea la thèse en  (Invariants of alternating link types, 1955). Il fut également le directeur de thèse de John Milnor (médaille Fields 1962) et de Lee P. Neuwirth (Knot groups, 1959).

Un nœud est dit tricolorable (anglicisme) si l'on peut colorier son diagramme plan sous les conditions suivantes :

  1. Chaque brin (arc compris entre deux croisements consécutifs) est colorié avec une seule des trois couleurs;

  2. Deux couleurs au moins sont utilisés;

  3. A chaque croisement, un brin correspondant à un passage sur un autre ne change pas couleur;

  4. A chaque croisement, ou bien une seule couleur est utilisée ou bien les trois le sont.

La tricolorabilité est compatible avec les mouvements de Reidemeister. Elle est ainsi un invariant de nœuds.

Groupe d'un nœud :

Au début du 20è siècle, le géomètre allemand Max Dehn avait montré qu'un nœud K, considéré en tant que courbe de l'espace, peut s'interpréter comme le bord d'une surface et que le groupe de Poincaré du complémentaire de K dans R3, à savoir π1( R3 - K) appelé groupe du nœud est un invariant de K.

Deux nœuds sont alors isotopes si leurs groupes sont isomorphes mais cela ne simplifie pas vraiment le problème car il est tout aussi difficile de prouver l'isomorphie entre les groupes. Il fallait exhiber un type invariant plus pratique à mettre en œuvre :

Les invariants polynomiaux :

L'exposé de ces algorithmes, dont (hélas) aucun n'est totalement discriminant, n'est pas simple. Pour une mise en œuvre rigoureuse, ils nécessitent la mise en place de nombreux résultats préliminaires. Le lecteur intéressé pourra consulter les liens donnés in fine, dont les articles sont rédigés par les inventeurs mêmes de ces polynômes ou des spécialistes de la question. En voici quelques éléments et les références des liens associés :

Le polynôme Δ d'Alexander :      

Une dizaine d'années plus tard, dans les années 1920, James Alexander, professeur à Princeton,  étudie les nœuds et entrelacs avec le concours d'un de ses étudiants Garland B. Briggs. Ils publieront en commun la thèse de ce dernier : On types of knotted curves (1927, réf.8a).

 i  Garland Baird Briggs (1894-1959) était un mathématicien américain, élève de  James W. Alexander à Princeton, dont la thèse On types of knotted curves (1926) fut dirigée par ce dernier.


On types of knotted curves, par J. Alexander & G. B. Briggs (réf. 8a)

Quelques mois plus tard, Alexander découvre un type d'invariant polynomial (Topological invariants of knots and links, 1927, réf.8b), déterminant x→Δ(x) d'une matrice en x caractérisant le nœud, construite sur le nombre et le type (dessus-dessous) de croisements du nœud. Plus performant que l'invariant de Tait, il est cependant non complet : à partir de l'ordre 9 deux nœuds ayant le même polynôme d'Alexander peuvent être non isotopes.

Pierre Tougne, chercheur au CNRS, (» réf.2), nous apprend que cette défaillance fut observée pour la première fois en 1957 par le mathématicien japonais Shin'ichi Kinoshita (1925-) qui s'aperçut qu'un nœud d'ordre 11 avait même polynôme d'Alexander que le nœud trivial : Δ(t) = 1 ! De plus, cet invariant ne distingue pas les nœuds miroirs comme les trèfles gauche et droit.

 i   Shin'ichi Kinoshita (1925-), mathématicien japonais qui étudia sous la houlette de Hidetaka Terasaka (1904-1996), spécialiste en topologie, professeur à l'université d'Osaka. Il consacra une partie de ses recherches à la théorie des nœuds. Le nœud d'ordre 11 évoqué ci-dessus, classé K11n42, est aujourd'hui appelé nœud de Kinoshita-Terasaka (» réf.16b). Il est le mutant du nœud de Conway.

Le polynôme de Conway :      

Utilisé par John Conway qui en présente un usage pratique simplifié (An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties, 1967/1969, réf.9), l'invariant d'Alexander sera la référence pendant près de 60 ans. En considérant les nœuds en tant que courbes orientées de R3 (on définit un sens de parcours), Conway en donnera (1986) une version plus simple et plus efficace, souvent appelé polynôme d'Alexander-Conway, noté ∇ (» réf.4a, réf.1, pages 93 et suivantes). Il réussit à énumérer les nœuds jusqu'à l'ordre 11. Le nœud K11n34, mutant de celui de Kinoshita-Terasaka, porte son nom et possède le même polynôme de Jones :

Le polynôme (ou V) de Jones :     

Ce polynôme fut découvert en 1985 par le mathématicien néozélandais Vaughan Jones, dans ses travaux en mécanique statistique et algèbres de von Neumann, un domaine lié à la mécanique quantique des champs où les invariants de nœuds ne semblaient pas intervenir a priori. Son mémoire sur le sujet fut édité par l'AMS : A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras, vol 12, 1985, p. 103-111 (» réf.1, ch.6,  réf.4a, réf.2, pages 76-79, article de Vaughan Jones, pages 98-103).

 i  Vaughan Frederick Randal Jones (1952-2020) : mathématicien néozélandais, diplômé de l'université de Genève, titulaire d'un doctorat portant sur les groupes finis (1979) sous la houlette d'André Haefliger (1929-), spécialiste en topologie algébrique, un ancien étudiant (1958) de Charles Ehresman. L'année suivante, Jones Vaughan s'installe aux États-Unis et enseigne à l'université de Pennsylvanie avant d'obtenir un poste définitif à Berkeley (univ. de Californie). En 1990, à Kyoto (Japon) il reçoit, une des quatre médailles Fields mettant à l'honneur cette année là d'éminents travaux en mécanique quantique, dont ceux de Edward Witten voyant en la théorie des nœuds un outil prometteur dans ses travaux en théorie quantique des champs.

Autre invariant polynomial :    

 Crochet et polynôme de Kaufmann : » réf.1, ch.6 &  réf.12

Invariants de Vassiliev :      

En 1989, le russe Victor Vassiliev applique la théorie des catastrophes à la théorie des nœuds : puisqu'un nœud ne peut se traverser, on va l'y forcer... : un croisement devient point double, c'est la "catastrophe", c'est à dire ici une singularité pour la courbe, puis le brin qui était "dessus" passe "dessous" ou vice-versa. Ci-contre, dans le cas du nœud de trèfle, ce dernier devient trivial en le tordant après la catastrophe !

 i  Victor Vassiliev (1956-), mathématicien russe, élève de Vladimiu Arnold, professeur à  l'Institut Steklov de Saint-Petersbourg. Spécialiste de la théorie des catastrophes (» Arnold, Thom).

    On démontre que tout nœud peut se transformer en le nœud trivial en lui faisant subir une suite finie de telles inversions de croisements. Ce résultat permet de construire un invariant dont l'algorithme est décrit en réf.1, ch7 et réf.12.

Surfaces de Seifert, genre d'un nœud:    

Le mathématicien allemand Herbert Karl Seifert complète les premiers résultats d'Artin concernant les nœuds et entrelacs en tant que bord d'une surface fermée de R3. Il montre (Über das Geschlecht von Knoten = Sur le genre des nœuds, 1934) que tout nœud peut être associé à une surface de R3 dont il est le bord mais ce résultat était déjà connu de Pontriaguine (Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensions Theorie, 1930) dans ses travaux en théorie de la dimension. Mais, là encore, il y a incertitude : cette association n'est pas unique car des surfaces non homéomorphes peuvent avoir le même bord. Tout comme le nœud qu'elle caractérise, ces surfaces, dites de Seifert, sont connexes, compactes et orientables (ce qui n'est pas le cas du ruban de Möbius) et ne se traversent pas.

L'apport de Seifert en théorie des nœuds se situe dans :

 i  Herbert Karl Seifert (1907-1996), mathématicien allemand, spécialiste en topologie et plus spécialement celle des espaces fibrés. Il soutint sa première thèse de doctorat à Dresde (1930) auprès de William Threlfall (1888-1949). Il côtoie Hopf et Alexandrov à Göttingen puis van der Waerden à Leipzig qui dirigea son second doctorat (1932).


Surface de Seifert du nœud à 5 croisements classé 52. Une vidéo YouTube de Mustapha Hajij

Nœuds mutants, nœuds de Conway et de Kinoshita-Tarasaka :   

Un nœud K étant représenté par son diagramme plan, intersectons K avec un cercle (ou toute courbe homéomorphe) de sorte, lorsque cela est possible, d'obtenir quatre (et seulement quatre) points d'intersection. Par rotation de 180° ou par symétrie axiale, on obtient un nouveau nœud K' en raccordant convenablement les brins. On parle de nœuds mutants.

On pourrait penser que cette transformation ne change que peu les propriétés de K' relativement à K. Il n'en est rien. Le nœud de Conway à 11 croisements catalogué K11n34 (» Knot atlas) est le mutant du nœud de Kinoshita-Terasaka K11n42 (» Knot atlas) :

Ces nœuds, qui ont même polynôme d'Alexander, de Jones et de Conway ne sont cependant pas isotopes. La preuve a été apportée en septembre 2018 par la jeune mathématicienne américaine Lisa Piccirillo, dans un court mémoire de six pages, après 50 ans de vaines études du problème entamées par Conway en 1970 lors de sa classification des nœuds à 11 croisements. Le résultat de Lisa Piccirillo a été vérifié et validé l'année suivante et publié en février 2020.

 i  Lisa Piccirillo (1997-) : après des études de mathématiques au Boston College (Massachussetts), elle qui a obtenu son doctorat en topologie à l'université du Texas (Austin) en 2019. » Plus d'infos sur ses travaux en réf.23b.

Au-delà de 9 croisements, l'étude des nœuds est très ardue. On les voit comme plongés dans l'espace à quatre dimensions en tant que bord d'une section lisse (variété différentielle), on parle aussi de tranche ou de nœud bordant d'une surface de R4 homéomorphe à une sphère... nouée ! Difficile à imaginer...

Dans R3, notre espace usuel à 3 dimensions, aucun nœud autre que le nœud trivial ne peut être le bord d'une section de la sphère usuelle (à deux dimensions). Lisa Piccirillo a montré par une méthode innovante que le nœud de Kinoshita-Terasaka, de genre 2, s'interprète comme une tranche mais qu'il n'en est pas de même du nœud de Conway, de genre 3. Ce très difficile sujet, qui a permis à la jeune mathématicienne d'obtenir un poste au Massachussetts Institute of Technology, est abordé dans un article de la revue QuantaMagazine intitulé Graduate Student Solves Decades-Old Conway Knot Problem (» réf.23).

Les tresses & entrelacs :

Introduites, en mathématiques, par Artin (dès 1920) et étudiées peu après par Alexander (1923), les tresses sont un outil permettant de répondre plus facilement aux problèmes exposés ci-dessus.

         

Tout comme dans le sens commun, une tresse est constituée d'un ensemble fini de "brins" entrelacés ayant une origine et une extrémité. L'ordre entre les origines et les extrémités étant différents (permutations).

En raboutant les extrémités d'une tresse, on obtient un nœud. On parle de clôture d'une tresse. Alexander utilisa les tresses dans ses recherches sur la classification des nœuds. Il prouva que tout nœud correspond à une tresse clôturée. Ci-dessus, à droite, cette tresse à deux brins peut être clôturée en reliant (b) à (c) et (a) à (d) : on reconnait alors le double huit qui n'est autre qu'un nœud de trèfle.

Artin a montré que les tresses peuvent être munies d'une structure de groupe permettant leur classification. On pourra consulter en particulier les références 1, 13 et 14 in fine.

Un entrelacs (toujours avec un s final, link en anglais, du latin laqueus = lacet) est, comme au sens usuel ornemental, un ensemble plus ou moins complexe de nœuds non connexes (disjoints) dans R3. En bijouterie, une chaîne (en or ou non) est un entrelacs de nœuds triviaux (cercles ou toute courbe fermée sans point double). Le plus élémentaire est l'entrelacs de Hopf :


Fabriqué par SeifertView (» réf.24c)

On peut associer à cet entrelacs une surface de Seifert rappelant le ruban de Möbius :


Fabriqué par SeifertView (» réf.24c)

Heinz Hopf et fibration de Hopf : »       Entrelacs de J. H. C. Whitehead : »

L'emblème des Jeux Olympiques est un entrelacs composé de cinq cercles disjoints deux à deux :

Concernant l'ADN, on a pu observer des entrelacs de forte complexité que les cellules doivent pouvoir dénouer lors du processus de division ! Pour ce faire, elle utilise des topo-isomérases : comme son nom l'indique, il s'agit bien de topologie : en fait des enzymes capables de démêler les entrelacs sans porter atteinte à la formule de l'ADN; lorsque dénouer devient trop difficile l'enzyme coupe un brin, voire les deux, de l'ADN pour ensuite les ressouder ! Cette solution triviale a permis de lutter contre les cancers au moyen d'un inhibiteur de la topo-isomérase (camptothécine, anthracyline, ...) empêchant les cellules malades de se reconstituer.



Une belle approche pédagogique des tresses, vidéo YouTube : https://www.youtube.com/watch?v=3MOvmktCtFU
On pourra visionner les 4 chapitres


Une vidéo YouTube : https://www.youtube.com/watch?v=sitZ0kO3uvg (sous-titres français)


    Pour en savoir plus :

  1. Noeuds, genèse d'une théorie mathématique par Alexei Sossinsky, Ed. du Seuil - Paris - 1999.

  2. La science des nœuds, théorie et applications. Revue Pour la science, hors série - avril 1997
    On peut retrouver cette référence (en plus complet) aux éditions Belin (2002) sur Amazon : La Science des nœuds, en neuf et occasion en évitant les arnaques à plus de 30€, voire 63€, le neuf étant dispo à 24 €... C'est franchement scandaleux, mais, bon, c'est ça ou le goulag...

  3. Du nœud gordien à la molécule d'ADN, par Jérôme Dubois, univ. Paris 7 :
    http://videocampus.univ-bpclermont.fr/data/svsyyjtxfgldrtfaytvd__transparent.pdf

  4. a/  Théorie des nœuds, les invariants polynomiaux, par Annie Jacques (univ. Laval, Canada) :
    https://corpus.ulaval.ca/jspui/bitstream/20.500.11794/21368/1/27104.pdf
    » Ce mémoire évoque également les matrices de Seifert
    b/  A propos des invariants des nœuds, par Francesco Costantino (IREM, univ. Marseille) :
    http://numerisation.irem.univ-mrs.fr/ST/IST08015/IST08015.pdf

  5. Une introduction à la topologie, graphes, surfaces et nœuds, par Yves C. de Verdière, Institut Fourier :
    https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~ycolver/All-Articles/97a.pdf

  6. Sur les classes d'isotopie des nœuds tridimensionnels et leurs invariants par G. Călugăreanu (univ. Prague) : http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/100486/CzechMathJ_11-1961-4_9.pdf

  7. Knots and links (nœuds et entrelacs) par Peter R. Cromwell (1964), rééd. 2004 sur Google Livres en lecture partielle :
    https://books.google.co.in/books?id=djvbTNR2dCwC

  8. a/  On types of knotted curves, par James Alexander et G. Baird Briggs : http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/alexbriggs.pdf
    b/  Topological invariants of knots and links, par James Alexander : http://www.ams.org/journals/tran/1928-030-02/S0002-...pdf
    c / Un polynôme pour les noeuds, par Jean guérin et Marc Laforest (univ. du Québec, Montréal), sur le site Accromath :
    http://accromath.uqam.ca/accro/wp-content/uploads/2013/04/noeuds.pdf
    d/  Des tresses au kitesurf : Vaughan Jones, texte et vidéo (interview de V. Jones sur le site Images des Maths du CNRS :
     http://images.math.cnrs.fr/Des-tresses-au-kitesurf-Vaughan.html

  9. An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties (univ. Edinburgh), par John H. Conway :
    http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/conway.pdf
  10. Knot theory, Invariants, braids : Encyclopedic Dictionary of Mathematics, tome 2 (EDM2), page 872-877

  11. Tricolorability of knots, par Kayla Jacobs (MIT) :
    http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-304-undergraduate-seminar-in-discrete-mathematics-spring-2006/projects/jacobs_knots.pdf

  12. Nœuds et invariants de Vassiliev, par Florent Mayencourt, EPFL (École polytec. Lausanne) :
    http://infoscience.epfl.ch/record/162458/files/mayencourt.semestre.hess.pdf

  13. a) Sur la courbure totale d'une courbe gauche faisant un nœud, par Istvan Fary, Bulletin de  la SMF, 1949 :
    http://www.numdam.org/article/BSMF_1949__77__128_0.pdf
    b) Autres publications de Istvan Fary publiées sur le site Numdam : http://www.numdam.org/search/Istvan Fary-a

  14. Théorie des tresses,  article de Patrick Dehornoy (Univ. Caen) pour l'Encyclopdia Universalis

  15. Groupe des tresses d'Artin : http://www.math.u-psud.fr/~riou/doc/tresses.pdf

  16. a) On the Kinoshita-Terasaka knot and generalized Conway mutation par Stephan Killman (univ. Sydney, Australie), oct. 1999 :
    http://www.maths.usyd.edu.au/u/tillmann/papers/kino.pdf
    b) Notes to the early history of the Knot Theory in Japan, par Jozef H. Przytycki (George Washington university, Washington DC) :
    https://arxiv.org/pdf/math/0108072.pdf

  17. Knot Atlas & Rolfsen Knot Table, remarquables table de nœuds et liens avec leurs caractéristiques : diagrammes, tresses équivalentes, polynomes d'Alexander, de Conway, de Jones, ... :  a) http://katlas.org/wiki/Main_Page
    b) http://katlas.math.toronto.edu/wiki/The_Rolfsen_Knot_Table

  18. Un éditeur  de nœuds et d'entrelacs, applet Java de Robert Scharein à l'adresse http://www.knotplot.com.
    Vous pouvez y télécharger gratuitement la version d'évaluation de ce logiciel et/ou acheter la version complète.

  19. Entrelacs celtiques : http://www.guide-irlande.com/culture/entrelacs-celtiques/

  20. Enluminures en Islam (BnF) : http://expositions.bnf.fr/islam/arret/04.htm

  21. Notes on Reidemeister torsion, par Andrew Ranicki (univ. Edimbourg) : http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/torsion.pdf

  22. En marge de la théorie des nœuds est l'étude de la création spontanée de nœuds en agitant un fil déjà plus ou moins emmêlée comme,
    par exemple, celui de vos oreillettes MP3... Une étude fort sérieuse du module de Physique expérimentale (univ. Paris-Diderot) :
    http://www.msc.univ-paris-diderot.fr/~phyexp/pmwiki.php/Noeuds/SacDeNoeuds

  23. a) Graduate Student Solves Decades-Old Conway Knot Problem , article d'Erika Klarreich dans QuantaMagazine (mai 2020) :
    https://www.quantamagazine.org/graduate-student-solves-decades-old-conway-knot-problem-20200519/
    b) Studying knots and four-dimensional spaces : https://gradschool.utexas.edu/news/studying-knots-and-four-dimensional-spaces
    c) Le nœud de Conway n'est pas bordant, vidéo YouTube de Mickaël Launay (univ. Aix-Marseille :
    https://www.youtube.com/watch?v=gz-MN3s-jcQ

  24. a) Visualization of the genus of knots, par J. van Wijk et A. M. Cohen (univ. tech. Eindhoven) : https://www.win.tue.nl/~vanwijk/knot.pdf
    b) Visualization of Seifert surfaces, par J. van Wijk et A. M. Cohen (univ. tech. Eindhoven) : https://www.win.tue.nl/~vanwijk/knot_tvcg.pdf
    c) Téléchargement de l'appli SeifertView : https://www.win.tue.nl/~vanwijk/seifertview/download_seifertview.htm

  25. Seifert surfaces and Seifert's algorithm, une vidéo YouTube de Richard Hepworth (univ. Aberdeen) décrivant le calcul du genre d'un noeud :
    https://www.youtube.com/watch?v=sYRv0AWl7Ms


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