ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Construction d'un cercle tangent à deux droites et à un cercle
    
   
tangente au cercle (rappels des propriétés)        niveau TD 4ème (a) / oral concours...

On considère deux droites d1 et d2 d'un plan et un cercle (c) de centre O. On s'intéresse au problème consistant à construire un cercle (au moins) tangent à ces deux droites et à ce cercle. Les outils autorisés sont règle non graduée, compas, équerre à la manière d'Euclide. On considérera deux cas :

a) les droites sont parallèles comme figurées ci-dessous : six cas peuvent avoir lieu, le 1er (en rouge) est à rejeter. Les second et troisième cas sont (très) simples.

b) les droites sont sécantes en O comme figurées ci-dessous. On appellera A le centre du cercle et on se ramènera au cas PDD de la construction d'un cercle passant par un point (A) et tangent à deux droites :

En observant cette figure tracée approximativement avec l'aide du logiciel CabriGéo afin d'analyser la situation, on comprend qu'il y aura 4 solutions : deux cercles tangents extérieurement (en rouge) et deux autres tangents intérieurement (en vert) :

Si vous séchez après avoir bien cherché... :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Solution :

a) Les droites d1 et d2 étant parallèles, le cercle ne peut pas être situé "entièrement" à l'extérieur de la bande limitée par les deux parallèles.

a1) Dans ces conditions, le premier cas (cercle extérieur à la bande, représenté en rouge dans la figure énumérative de l'énoncé) est à rejeter :

a2) Le cercle (c) est tangent extérieurement en K à l'une des deux droites (figure ci-contre) : dans ce cas (OK) est perpendiculaire aux deux droites. L'unique solution est le cercle de centre O1 situé sur (OK) à égale distance de d1 et d2.  petit rappel

a3) Le cercle (c), de centre O, est tangent intérieurement aux deux droites en A et B. [AB] est un diamètre du cercle (c), perpendiculaire aux deux droites (figure ci-dessous). On trace la parallèle Δ aux droites d1 et d2 passant par O.

Les deux cercles centrés sur Δ en O1 et O2, tangents extérieurement à (c) et de même rayon que ce dernier répondent à la question.

Collégiens : Dans ce problème de construction, le double-décimètre n'est pas autorisé. Lorsque l'on "de même rayon", cela ne signifie nullement que l'on mesure ce rayon au moyen de ce dernier : il s'agit ici de reporter cette prise de mesure grâce au compas : on pique le compas en O et on l'écarte jusqu'à la circonférence du cercle (c). Avec cet écartement, on trace les cercles de centre O1 et O2.

a4) On suppose ici que (c), figuré en bleu est tangent  intérieurement à d1 en J, de rayon OJ = r. Ce cercle étant intérieur à la bande définie par d1 et d2, les cercles cherchés devront l'être également. Comme dans le cas précédent, ces cercles, devant être tangents à d1 et d2, ont même rayon R (demi-distance entre d1 et d2) et seront donc centrés sur la parallèle à d1 et d2 passant par O. Une solution apparait immédiatement : cercle de centre O1 passant par J tangent intérieurement à (c).

Si un cercle (s) de centre O2 est solution et tangent extérieurement à (c) en K, alors O, K et O2 sont alignés et OO2 = r + R. D'où la construction : soit S le symétrique de O1 par rapport à J. On a OS = r + R. Le cercle de centre O passant par S (en pointillés bleu) coupe Δ en O2 et O3. Les cercles de centre O1 et O2 de rayon R répondent manifestement à la question.

a5) On suppose ici que (c) est intérieur à la bande définie par les parallèles d1 et d2. Si un cercle de centre O1 est candidat tangent extérieurement à (c), son rayon est R (demi-distance entre d1 et d2) et comme précédemment, OO2 = r + R. On est amené à la construction précédente construisant S sur la perpendiculaire commune à d1 et d2 passant par O tel que OS = r + R. Pour cela, on reporte au moyen du compas la demi-distance R à partir de J et on obtient deux solutions symétriques par rapport à (OS).

Mais on soupçonne l'existence de deux solutions où (c) est tangent intérieurement aux cercles cherchés. Le processus de construction est semblable au cas précédent en procédant par soustraction... :

b/ Les droites sont sécantes en un point O :


© Serge Mehl - www.chronomath.com