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 Coniques selon d'Alembert
   
 (Dictionnaire raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers
)

 Texte original. Seuls sont modifiés la mise en page, quelques tournures et aspects orthographiques ou grammaticaux Les mots ou les commentaires en vert sont ajoutés pour une meilleure compréhension

Les sections coniques, en y comprenant le cercle, composent tout le système des lignes du second ordre (courbes du second degré) ou courbes du premier genre, la ligne droite étant appelée ligne du premier ordre. Ces lignes du second ordre, ou courbes du premier genre, sont celles dans l'équation desquelles les indéterminées x et y montent au second degré.

Ainsi pour représenter en général toutes les sections coniques, il faut prendre une équation dans laquelle x et y montent au second degré et qui soit la plus composée qui se puisse : c'est-à-dire qui contienne, outre les carrés xx et yy :

d'Alembert use de xx et yy au lieu de x2 et y2; cela semble dépendre de son humeur ou de contraintes typographiques...   exposant

  1. le plan xy (plan est ici synonyme de produit);
  2. un terme qui renferme x linéaire;
  3. un terme qui contienne y linéaire
  4. et enfin un terme tout constant.

Ainsi l'équation générale des sections coniques sera :

yy + pxy + qy + bxx + cx + a = 0

c'est notre forme actuelle, en tant que courbes algébriques du second degré : y2 + pxy + qy + bx2 + cx + a = 0

Cela posé, voici comment on peut réduire cette équation à représenter quelqu'une des sections coniques en particulier. Soit y + px/2 + q/2 = z, on aura :

zz - p2x2/4 - 2pqx/4 + bxx - qq/4 + cx + a = 0

Équation qu'on peut changer en celle-ci :

zz + Axx + Bx + C = 0

On verra facilement que les nouvelles coordonnées de la courbe sont z et une autre ligne u qui est en rapport donné avec x, de sorte qu'on peut supposer x = mu ; ainsi l'équation pour les coordonnées z et u sera :

zz + Duu + Fu + G = 0   soit : z2 + Du2 + Fu + G = 0

Or,

  1. si D = 0, la courbe est une parabole;
  2. si D est négatif, la courbe est une ellipse; et elle sera un cercle si D = - 1 et que l'angle des coordonnées z et u soit droit;
  3. si D est positif, la courbe sera une hyperbole. Au reste il arrivera quelquefois que la courbe sera imaginaire, lorsque la valeur de z en u sera imaginaire.

C'est ainsi qu'on pourrait parvenir à donner un traité vraiment analytique des sections coniques, c'est-à-dire où les propriétés de ces courbes seraient déduites immédiatement de leur équation générale et non pas comme dans l'ouvrage de M. le marquis de l'Hospital, de leur description sur un plan. M. l'abbé de Gua a fait sur ce sujet de fort bonnes réflexions dans son ouvrage intitulé, Usage de l'analyse de Descartes et il y trace le plan d'un pareil traité.

M. le marquis de l'Hospital, après avoir donné dans les trois premiers livres de son ouvrage les propriétés de chacune des sections coniques en particulier, a consacré le quatrième livre à exposer les propriétés qui leur sont communes à toutes : par exemple, que toutes les ordonnées à un même diamètre soient coupées en deux également par ce diamètre, que les tangentes aux deux extrémités d'une même ordonnée aboutissent au même point du diamètre, etc.

Les Anciens avaient considéré d'abord les sections coniques dans le cône où elles sont nées ; et la meilleure manière de traiter ces courbes, serait peut-être de les envisager d'abord dans le cône, d'y chercher leur équation et de les transporter ensuite sur le plan pour trouver plus facilement par le moyen de cette équation leurs autres propriétés ; c'est ce que M. de la Chapelle s'est proposé de faire dans l'ouvrage dont nous avons parlé.

  Abbé de la Chapelle, prêtre, inventeur et mathématicien français (1710-1792). Il fut membre de la Royal Society. il publia de nombreux écrits dont, en mathématiques, un Traité sur les sections coniques appliquées à la pratique de différents arts (1750). On lui doit l'invention d'une machine permettant de marcher sur l'eau : ce fut le premier scaphandre : du grec skafê = barque et andros = homme. Le scaphandre devait rapidement évoluer vers la combinaison rigide permettant à l'homme de marcher au fond de l'eau.

Quelques auteurs, non contents de démontrer les propriétés des sections coniques sur le plan, ont encore cherché le moyen de démontrer ces propriétés, en considérant les sections coniques dans le cône même. Ainsi M. le marquis de l'Hospital a consacré le sixième livre de son ouvrage à faire voir comment on retrouve dans le solide les mêmes propriétés des sections coniques démontrées sur le plan : il a rempli cet objet avec beaucoup de clarté et de simplicité. Dans cet article nous avons envisagé les sections coniques de la manière qui demande le moins d'apprêt, mais qui n'est peut-être pas la plus naturelle : la méthode que nous avons suivie convenait mieux à un ouvrage tel que celui-ci ; et celle que nous proposons conviendrait mieux à un ouvrage en forme sur les sections coniques.

Pour démontrer les propriétés des sections coniques dans le cône, il est bon de prouver d'abord que toute section conique est une courbe du second ordre, c'est-à-dire où les inconnues ne forment pas une équation plus haute que le second degré. Cela se peut prouver très aisément par l'algèbre en imaginant un cercle qui serve de base à ce cône, en faisant les ordonnées de la section conique parallèles à celles du cercle et en formant des triangles semblables qui aient pour sommet commun celui du cône et pour bases les ordonnées parallèles, etc. Nous ne faisons qu'indiquer la méthode : les lecteurs intelligents la trouveront sans peine ; et les autres peuvent avoir recours à la théorie des ombres dans l'ouvrage de M. l'abbé de Gua, qui a pour titre usages de l'analyse de Descartes, etc. (...)

  théorie des ombres : lois optiques des ombres projetées par des objets opaques éclairés et dont un exemple sont les cônes d'ombre créés par la Lune lorsqu'elle s'interpose entre le soleil et la Terre : éclipse de Soleil.

Jean le Rond d'Alembert


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