ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Parallélogramme articulé             niveau 1èreS       Outil : théorème de la médiane

On considère un parallélogramme ABCD articulé en chacun de ses sommets. Les côtés ont une longueur constante. On note J son centre. Vous pouvez le déformer en déplaçant les sommets A ou C :

1°/ Montrer que la somme des carré des diagonales  AC2 + BD2 est constante.

2°/ Prolongement : On suppose que C et D sont fixés. Montrer que lorsque A varie, l'ensemble des  points J, point de concours des diagonales, est un cercle dont on précisera le rayon.

 

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Solution :

1°/ J est le point de concours des diagonales (elles se coupent en leurs milieux). Notons O le milieu de [DC]. Posons AB = a, BC = b. (OJ) est une droite des milieux dans le triangle ACD; par suite OJ = AD/2 = b/2.

Selon le théorème de la médiane (théorème d'Apollonius), on a :

JD2 + JC2 = 2JO2 + DC2/2 = b2/2 + a2/2 = ½(a2 + b2)         (1)

D'où : AC2 + BD2 = (2JC)2 + (2JD)2 = 2(a2 + b2) = cte.

2°/ Selon la relation (1) : 2JO2 + DC2/2 = ½(a2 + b2), d'où 2JO2 = ½b2, soit OJ = b/2 : J décrit le cercle de centre O de rayon b/2.

  On peut aussi utiliser l'homothétie de centre C (point fixe), de rapport 1/2. Elle transforme A en J et D en O. Le point D étant fixé, A décrit le cercle de centre D, de rayon AD = b. Par suite, J décrit le cercle de centre O, de rayon b/2.

   Balance de Roberval


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