ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Parallélogramme articulé        niveau 1èreS       Outil : théorème de la médiane

On considère un parallélogramme ABCD supposé articulé en chacun de ses sommets. Les côtés ont une longueur constante. On note J son centre.

Voici la même figure générée par Cabri Géomètre dans sa version CabriJava pour Internet :

1°/ Montrer que la somme des carré des diagonales  AC² + BD² est constante.

2°/ Prolongement : On suppose que C et D sont fixés. Montrer que lorsque A varie, l'ensemble des  points J, point de concours des diagonales, est un cercle dont on précisera le rayon.

1°/ J est le point de concours des diagonales (elles se coupent en leurs milieux). Notons O le milieu de [DC]. Posons AB = a, BC = b. (OJ) est une droite des milieux dans le triangle ACD; par suite OJ = AD/2 = b/2.

Selon le théorème de la médiane (théorème d'Apollonius), on a :

JD² + JC² = 2JO² + DC²/2 = b²/2 + a²/2 = ½(a² + b²)         (1)

D'où : AC² + BD² = (2JC)² + (2JD)² = 2(a² + b²) = cte.

2°/ Selon la relation (1) : 2JO² + DC²/2 = ½(a² + b²), d'où 2JO² = ½b², soit OJ = b/2 : J décrit le cercle de centre O de rayon b/2.

» On peut aussi utiliser l'homothétie de centre C (point fixe), de rapport 1/2. Elle transforme A en J et D en O. Le point D étant fixé, A décrit le cercle de centre D, de rayon AD = b. Par suite, J décrit le cercle de centre O, de rayon b/2.

 »  Balance de Roberval