ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Construire un cercle passant par deux points et tangent à un cercle
   
Ce problème correspond au problème n°2 d'Apollonius, dit PPC, résolu par Viète en l'an 1600
 

Dans un plan, on se donne deux points A et B et un cercle (c) ne passant pas par ces points.

Construire un cercle tangent à (c) et passant par A et B. La solution est-elle unique ?

La résolution de ce problème de construction fait appel à la puissance d'un point par rapport à un cercle.

Indications :

Tracer un cercle auxiliaire (c') passant par A et B coupant le cercle donné (c) en C et D. On note P le point d'intersection de (CD) et (AB). Considérer la puissance de P par rapport aux cercles (c) et (c'). Un cercle solution correspond au cas particulier où la sécante (CD) devient la tangente à (c)...


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© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

La puissance de P par rapport au cercle auxiliaire (c') est PBPA et c'est aussi PCPD qui est aussi la puissance de P par rapport au cercle (c). Désignons par O le centre de (c) et traçons le cercle de diamètre PO. Ce cercle rencontre (c) en T1 et T2 et les triangles POT1 et POT2 sont rectangles. On en déduit que (PT1) et (PT2) sont deux tangentes à (c) issues de P. On a donc PBPA = PT12 = PT22.

C'est dire que (PT1) est la tangente issue de P à un cercle (s1) défini par A, B et T1 : (s1) répond à la question et il en est de même de (s1) défini par A, B et T2.

Les centres de ces cercles sont l'intersection des médiatrices de [AB] et [BT1] d'une part et des médiatrices de [AB] et [BT2] d'autre part. Le problème possède ainsi deux solutions.


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