ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Ensemble des points M du plan vérifiant MA/MB = k, k donné       » Voir l'animation | cas des points M d'une droite         niveau 1èreS  (barycentre)

On considère deux points A et B du plan, on se propose de rechercher les points M du plan dont le rapport MA/MB des distances de M à A et B est un nombre k.

La figure illustre le cas MA/MB = 2/5. Si AB = 5, G intérieur à [AB] tel que GA = 2 et G' extérieur à [AB], situé sur [BA) tel que BG' = 15 sont deux points de [AB] qui répondent à la question.

» cas de la droite & construction géométrique

• Si k = 1, le problème est trivial : il s'agit de la médiatrice de [AB].
• Supposons k distinct de 1.
  Soit G le barycentre du système pondéré {(A,1);(B;k)} et G' le barycentre de {(A,1);(B;-k)}.
  On a MA² - k²MB² = 0 et on peut alors écrire vectoriellement (MA + k.MB)(MA - k.MB) = 0.
  Étudions cette relation équivalente à notre hypothèse.

Par définition de G et G', on a GA + k.GB = 0 et G'A - k.G'B = 0. On dit qu'il y a deux points divisant le segment [AB] dans le rapport k. L'un est intérieur au segment (le point G), l'autre lui est extérieur (le point G').

En introduisant G et G' dans la relation (MA + k.MB)(MA - k.MB) = 0 on obtient alors (1 - k²)MG.MG' = 0 et comme k est distinct de 1 : MG.MG' = 0.

On conclut immédiatement que M décrit le cercle de diamètre [GG'].

Application : génération d'une hyperbole (niveau Terminale) : »

Figure dynamique :  

La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :