ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Ensemble des points M du plan vérifiant MA/MB = k, k donné
   
  
cas des points M d'une droite         niveau 1èreS  (barycentre)   

On considère deux points A et B du plan, on se propose de rechercher les points M du plan dont le rapport MA/MB des distances de M à A et B est un nombre k.

La figure illustre le cas MA/MB = 2/5. Si AB = 5, G intérieur à [AB] tel que GA = 2 et G' extérieur à [AB], situé sur [BA) tel que BG' = 15 sont deux points de [AB] qui répondent à la question.

cas de la droite & construction géométrique

Par définition de G et G', on a GA + k.GB = 0 et G'A - k.G'B = 0. On dit qu'il y a deux points divisant le segment [AB] dans le rapport k. L'un est intérieur au segment (le point G), l'autre lui est extérieur (le point G').

En introduisant G et G' dans la relation (MA + k.MB)(MA - k.MB) = 0 on obtient alors (1 - k2)MG.MG' = 0 et comme k est distinct de 1 : MG.MG' = 0.

On conclut immédiatement que M décrit le cercle de diamètre [GG'].

Application : génération d'une hyperbole (niveau Terminale) :

Ci-dessous, vous pouvez déplacer M : le rapport reste constant MA/MB = 2/3
(le logiciel indique 0,67, arrondi de 2/3 à 0,01 près). Vous pouvez aussi diminuer ou agrandir l'unité (point u)


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