ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Construction d'un cercle passant par un point et tangent à deux droites       »  tangente au cercle (rappels des propriétés)        niveau TD 4è (a) / oral concours (b) ...

On considère deux droites d1 et d2 d'un plan et un point A. On s'intéresse au problème consistant à construire un cercle (au moins) passant par A et tangent à ces deux droites. Outils autorisés : règle non graduée, compas, équerre à la manière d'Euclide. On considérera deux cas :

a) les droites sont parallèles;    
b) les droites sont sécantes en O comme figurées ci-dessous :

»  Le problème d'Apollonius de la construction d'un cercle passant par un point et tangent à deux droites sécantes est équivalent à l'exercice proposé (demi-droites sécantes en O) dans la mesure où un point est situé dans un, et un seul, des quarts de plan définis par ces droites et le fait que A soit situé dans un des angles obtus ou aigus qu'elles définissent ne modifie en rien le problème.

a) Les droites d1 et d2 sont parallèles :  

Si le point A est situé sur une des deux droites, le problème n'est pas trop difficile... On suppose donc ici que le point A est situé à l'intérieur de la "bande" limitée par les deux droites. Dans ces conditions :

• On trace la perpendiculaire commune aux deux droites passant par A; on obtient H sur d1 et K sur d2.
• On note M le milieu de [HK]; on trace d3 parallèle à d1 (et d2) passant par M.
• Le cercle de centre A de rayon MH (report de distance) coupe d3 en O1 et O2.
• Les cercles de centre O1 et O2 passant par A répondent à la question.

b/ Les droites sont sécantes en un point O :   

Il y a 3 contraintes dans cette construction. C'est beaucoup. Réduisons à 2 afin d'analyser la situation en mettant provisoirement de côté la condition de passage par A. Par raison de symétrie, il n'y a alors finalement qu'une seule contrainte. On sait que tout point de la bissectrice d'un angle est situé à égale distance des côtés de l'angle. Donc si un cercle est candidat, il est centré sur la bissectrice de ^xOy.

• Soit J un point de la bissectrice (tracée en rouge), traçons la perpendiculaire à [J,x) issue de J et notons K le point d'intersection;

• Le cercle (c) de centre J de passant par K est tangent à [O,x) et à [O,y).

Traçons la demi-droite [OA); elle coupe le cercle (c) en P et P'. Dans l'homothétie de centre O de rapport OA/OP, le cercle (c) se transforme en le cercle de centre O1 passant par A, image de P. Construisons-le :

• On trace [JP];

• La parallèle à [JP] passant par A coupe la bissectrice de ^xOy en O1;

• Le cercle de centre O1 passant par A est un cercle solution du problème.

Synthèse (vérification) :         

L'homothétie conserve les contacts : si une courbe (c) est tangente à une droite (d) en un point K, alors les images de (c) et (d) par toute homothétie seront tangentes en l'image de K.

Or l'image de [Ox) est [Ox) elle-même, donc l'image K' de K est située sur [Ox) et le cercle centre O1, image de (c), est tangent à [Ox). Par symétrie, il est aussi tangent à [Oy).

Mais [OA) coupe (c) en un second point P' que nous pouvons également utiliser pour obtenir une seconde solution : cercle de centre O2 passant par A obtenu en traçant la parallèle à [OP'] passant par A.