ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Construire un cercle tangent à trois droites données    niveau 2nde/1ère
   
Ce problème correspond au problème n°3 d'Apollonius, dit DDD, résolu par Viète en l'an 1600

Dans un plan, on se donne trois droites d1, d2 et d3. Combien et comment peut-on construire de cercles tangents à ces trois droites ?

On s'intéresse au cas où d1 est parallèle à d2, d3 coupant d1 et d2 respectivement en A et B.

Combien (et comment) peut-on construire de cercles tangents à ces trois droites dans cette configuration ?

Si tu sèches après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rappelons ce résultat fondamental qu'il faut absolument connaître :

Tout point de la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de cet angle

Étant donné un triangle ABC :

On dit que (c) est le cercle exinscrit dans l'angle ^C du triangle ABC. Et on peut bien entendu construire les deux autres cercles exinscrits de manière analogue.



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Les droites d1 et d2 étant parallèles, un cercle cherché ne peut pas se situer dans un demi-plan contenant l'une mais non l'autre. Tout se passe donc dans la bande formée par les parallèles d1 et d2.

La solution est alors simple : elle consiste à tracer les bissectrices des angles ^A et ^B (intérieurs à la bande). Et on se retrouve dans la configuration similaire à celle d'un cercle exinscrit.

Une seconde solution apparait immédiatement par symétrie centrale de centre le milieu de [AB].


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