ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Construire un cercle tangent à trois droites données    niveau 2nde/1ère     Ce problème correspond au problème n°3 d'Apollonius, dit DDD, résolu par Viète en l'an 1600

Dans un plan, on se donne trois droites d1, d2 et d3. Combien et comment peut-on construire de cercles tangents à ces trois droites ?

• Le problème n'a manifestement pas de solution si les trois droites sont parallèles.

• Si aucune droite n'est parallèle à une autre, elles forment un triangle.
  On est ramené à un cas bien connu : le cercle inscrit dans un triangle (étudié en 4ème) et à un autre, plus subtil, niveau 2nde : celui des trois cercles exinscrits dans un triangle (passés aux oubliettes) dont on donne ici une construction d'un de ces cercles car elle aidera pour la question qui suit :

On s'intéresse au cas où d1 est parallèle à d2, d3 coupant d1 et d2 respectivement en A et B.

Combien (et comment) peut-on construire de cercles tangents à ces trois droites dans cette configuration ?

Si tu sèches après avoir bien cherché : ››››

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© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rappelons ce résultat fondamental qu'il faut absolument connaître :

Tout point de la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de cet angle

Étant donné un triangle ABC :

• Prolongeons les côtés [CA] et [CB] en les demi-droites en pointillés violet [Cx) et [Cy).

• Traçons les bissectrices des angles ^xAB et ^yBA. Elles se coupent en O.

• Le point O est à égale distance de (AB), (BC) et (CA). Pourquoi ?

• Soit H le projeté orthogonal de O sur (CB).

• Le cercle (c) de centre O passant par H est tangent à (AB), (BC) et (CA)

On dit que (c) est le cercle exinscrit dans l'angle ^C du triangle ABC. Et on peut bien entendu construire les deux autres cercles exinscrits de manière analogue.

Les droites d1 et d2 étant parallèles, un cercle cherché ne peut pas se situer dans un demi-plan contenant l'une mais non l'autre. Tout se passe donc dans la bande formée par les parallèles d1 et d2.

La solution est alors simple : elle consiste à tracer les bissectrices des angles ^A et ^B (intérieurs à la bande). Et on se retrouve dans la configuration similaire à celle d'un cercle exinscrit.

Une seconde solution apparait immédiatement par symétrie centrale de centre le milieu de [AB].