ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Construire un cercle passant par un point et tangent à une droite et un cercle     Ce problème correspond au problème n°6 d'Apollonius, dit PDC, résolu par Viète en l'an 1600

Dans un plan, on se donne un point A, une droite (d) ne passant pas par A et un cercle (c) ne rencontrant pas (d). On suppose que (DA) coupe (d) en un point J.

Construire un cercle passant par A, tangent à (d) et tangent au cercle (c)

 

Rappel : La tangente en un point T d'un cercle de centre O est la droite perpendiculaire au rayon [OT]. Si deux cercles (c1) et (c2) sont tangents en T, leurs centres o1 et o2 sont alignés avec T et l'homothétie transformant o1 en o2 transforme (c1) en (c2).

 i  La résolution de ce problème de construction fait appel à la puissance d'un point par rapport à un cercle.

Analyse :   

Supposons le problème résolu. Un cercle solution (s), de centre O est représenté en rouge, passant par le point donné A. E est le point de contact des deux cercles tangents (s) et (c). B est le point de contact de (s) avec (d). (DA) coupe (s) en A et H.

E est le centre d'homothétie des deux cercles, appelons h cette homothétie. [DE) coupe (d) en B. En effet, [DF] est un diamètre de (c) perpendiculaire à (d), son image par h doit être un diamètre de (s) perpendiculaire à (d) : ce ne peut être que le diamètre passant par B, car (OB) ⊥ (d) au point de contact. [KB] est l'image de [DF] par h.  

L'angle ^DEF étant droit, le quadrilatère EFCB possède deux angles droits et est donc inscriptible dans le cercle (c') de diamètre [FB]. En comparant les puissances de D par rapport aux cercles (s) et (c'), on est en droit d'écrire :

DH × DA = DE × DB  et  DE × DB = DF × DC

On en déduit DH × DA = DF × DC : les points A, H, F et C sont donc cocycliques. Connaissant A, F et C, on peut construire le cercle (c") circonscrit au triangle AFC qui coupera (DA) en H. On a ainsi un second point appartenant au cercle (s), ce qui nous ramène au problème PPD : construire un cercle passant par deux points (A et H) et tangent à une droite.

Synthèse :    

Partant de la figure initiale, on trace les médiatrices de [FC] et [AF] afin de tracer le cercle circonscrit (c") au triangle AFC. Ce cercle coupe (DA) en H. On utilise maintenant la construction PPD : cercle passant par A et H et tangent à (d) : traçons le cercle de diamètre [JH], la perpendiculaire à (JH) passant par A coupe ce cercle en deux points; on note L l'un deux. Le cercle de centre J passant par L coupe (d) en B et B'. Ce sont les points de contact avec (d) des cercles cherchés (s) et (s') qui sont donc les cercles circonscrits aux triangles AHB et AHB' tracés en rouge.

Il nous faut maintenant vérifier que ces cercles sont tangents à (c) : notons E l'intersection de [DB] avec le cercle solution (s). Relativement à (s), DH × DA = DE × DB  et, relativement à (c"), DH × DA = DF × DC. On en déduit DE × DB = DF × DC : les points E, B, C et F sont cocycliques et puisque ^FCB est droit, il en est de même de ^FEB. Les points D, E et B sont donc alignés.

La demi-droite [FE] coupe (s) en K. L'angle ^KEB étant droit, [KB] est un diamètre de (s) parallèle à [DF] et perpendiculaire à (d) en B. L'homothétie de centre E transformant [DF]  en [KB] transforme G en G' centre de (s) : c'est dire que EG' est un rayon de (s), donc que (s) est donc tangent à (c) en E. Et on admettra qu'un raisonnement semblable montrerait que le second cercle (s') de centre G' répond effectivement au problème...